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Definindo uma outra estrutura combinatória de soma de produtos de elementos de um conjunto numérico, tomados 𝑛 a 𝑛, na qual é uma das partes de 𝐵(𝑛), dada por: [𝐵(𝑛)]𝑖 : soma dos produtos de 𝐵(𝑛) que não tem o elemento 𝑎𝑖 , com 𝑖 ∈ [1, 𝑚], 𝑖 ∈ ℕ, ou seja, um novo 𝐵(𝑛) dos elementos do conjunto 𝐴1 = 𝐴 − {𝑎1 }. Segue a escrita de 𝐵(𝑛) em relação a alguns elementos 𝑎𝑖 . Para 𝑖 = 1 Temos que 𝐵(𝑛) é a soma dos produtos de 𝑛 elementos diferentes do conjunto 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑚 }, sem permutação destes produtos, uma parte destes produtos vai ter o elemento 𝑎1 como um dos seus fatores, ao agruparmos estes produtos, colocando o 𝑎1 em evidência neles, o 𝑎1 vai ser multiplicado pela soma de todos os produtos de (𝑛 − 1) elementos diferentes do conjunto 𝐴1 = 𝐴 − {𝑎1}, que de acordo com a definição de [𝐵(𝑛)]𝑖 , esta soma é o [𝐵(𝑛 − 1)]1 . Ainda sobra de 𝐵(𝑛) a parte de seus produtos que não tem o elemento 𝑎1 , que é dada pela soma de todos os produtos de 𝑛 elementos diferentes do conjunto 𝐴1 , que de acordo com a definição de [𝐵(𝑛)]𝑖 , é o [𝐵(𝑛)]1. Deste modo, pode-se escrever 𝐵(𝑛) em reação ao 𝑎1 como: 𝐵(𝑛) = [𝐵(𝑛 − 1)]1 . 𝑎1 + [𝐵(𝑛)]1 Para 𝑖 = 2 Procedendo de forma análoga ao valor de 𝑖 anterior, pode-se agrupar os produtos de 𝐵(𝑛) que tem o elemento 𝑎2 , colocar o 𝑎2 em evidência nestes produtos, resultando no 𝑎2 multiplicado pela soma de todos os produtos de (𝑛 − 1) elementos diferentes do conjunto 𝐴2 = 𝐴 − {𝑎2 }, sem as permutações destes produtos, que pela definição de [𝐵(𝑛)]𝑖 , está soma corresponde ao [𝐵(𝑛 − 1)]2; a outra parte de 𝐵(𝑛) é dada pela soma dos produtos que não contém o elemento 𝑎2 , que pela definição de [𝐵(𝑛)]𝑖 , é o [𝐵(𝑛)]2. Desta forma, 𝐵(𝑛) também pode ser escrito como 𝐵(𝑛) = [𝐵(𝑛 − 1)]2 . 𝑎2 + [𝐵(𝑛)]2 Deste modo, observando os exemplos acima, pode-se compreender melhor o caso geral, em que podemos escrever 𝐵(𝑛) em relação a qualquer 𝑎𝑖 . Procedendo do seguinte modo: Agrupando a parte dos produtos de 𝐵(𝑛) que tem o elemento 𝑎𝑖 , colocando este elemento em evidência nestes produtos, ficando assim o 𝑎𝑖 , multiplicado pela soma de todos os produtos de 𝑛 − 1 elementos diferentes do conjunto 𝐴𝑖 = 𝐴 − {𝑎𝑖 }, sem permutações destes produtos na soma, que de acordo com a definição de [𝐵(𝑛)]𝑖 , esta soma é o [𝐵(𝑛 − 1)]𝑖 ; a outra parte de 𝐵(𝑛) é a parte dos produtos que não tem o elemento 𝑎𝑖 , que corresponde a soma dos produtos de 𝑛 elementos diferentes do conjunto 𝐴𝑖 , sem as permutações destes produtos na soma, que pela definição de [𝐵(𝑛)]𝑖 , é o [𝐵(𝑛)]𝑖 . Dessa forma, temos o caso geral, em que: 𝐵(𝑛) = [𝐵(𝑛 − 1)]𝑖 . 𝑎𝑖 + [𝐵(𝑛)]𝑖 (𝐸𝑞. 𝐴9) APÊNDICE B - ESCRITA DE 𝜸𝒏 𝒙 𝒓 para 𝟐 ≤ 𝒓 < 𝒏 Pode-se ter três situações diferentes de modelagens de escrita do 𝛾𝑛 𝑥 𝑟 , ao depender do valor de 𝑟, divididas em: i) Para 𝑟 = 1. Tem-se 𝛾𝑛 𝑥 1 que é 𝐵(𝑛), a análise de escrita de 𝐵(𝑛) está apresentada no apêndice C. ii) Para 𝑟 = 𝑛. Temos que 𝛾𝑛 𝑥 𝑟 = 𝛾𝑛 𝑥 𝑛 , a escrita 𝛾𝑛 𝑥 𝑛 está analisada e generalizada no Apêndice D. iii) Resta somente, a condição para, 2 ≤ 𝑟 < 𝑛. Que é a situação de escrita para 𝛾𝑛 𝑥 𝑟 analisada neste apêndice. Seguindo com esta análise tem-se: Observando a formação dos produtos da soma dos 𝛾𝑛 𝑥 𝑟 de acordo com sua definição, para 2 ≤ 𝑟 < 𝑛, 𝑛, 𝑟 𝜖 𝑁, cada um destes produtos tem 𝑛 elementos no total, sendo, 𝑟 repetidos (iguais), deste modo, cada um deles vai ter (𝑛 − 𝑟) elementos diferentes em sua composição. Desta forma, apresentando de uma forma mais didática esta análise, alguns 𝛾𝑛 𝑥 𝑟 , serão descritos com alguns valores de 𝑛, para 2 ≤ 𝑟 < 𝑛. Vai ser adotado o padrão de escrita destes 𝛾𝑛 𝑥 𝑟 , de tal modo que todos os seus produtos tenham os 𝑟 fatores iniciais sendo os elementos iguais e nos (𝑛 − 𝑟) fatores diferentes seguintes, os índices dos elementos destes fatores fiquem em ordem crescente. Para 𝒏 = 𝟏 Não há valor de 𝑟 (2 ≤ 𝑟 < 𝑛) que obedeça a sentença iii); Para 𝒏 = 𝟐 Não há valor de 𝑟 (2 ≤ 𝑟 < 𝑛) que obedeça a condição iii), uma vez que 𝛾𝑛 𝑥 𝑟 recai na sentença (ii); Para 𝒏 = 𝟑 Tem-se para 𝑟, o valor 2 ≤ 𝑟 < 3. Segue: 𝛾3×2 = 𝑎1 𝑎1 𝑎2 + 𝑎1 𝑎1 𝑎3 + 𝑎1 𝑎1 𝑎4 + 𝑎1 𝑎1 𝑎5 + 𝑎1 𝑎1 𝑎6 + ⋯ + 𝑎1 𝑎1 𝑎𝑚−1 + 𝑎1 𝑎1 𝑎𝑚 +𝑎2 𝑎2 𝑎1 + 𝑎2 𝑎2 𝑎3 + 𝑎2 𝑎2 𝑎4 + 𝑎2 𝑎2 𝑎5 + 𝑎2 𝑎2 𝑎6 + ⋯ + 𝑎2 𝑎2 𝑎𝑚−1 + 𝑎2 𝑎2 𝑎𝑚 +𝑎3 𝑎3 𝑎1 + +𝑎3 𝑎3 𝑎2 + +𝑎3 𝑎3 𝑎4 + 𝑎3 𝑎3 𝑎5 +𝑎3 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + 𝑎3 𝑎3 𝑎𝑚−1 + ⋯ + +𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎1 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎2 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−2 + +𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎1 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎2 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚−2 + +𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚−1 (𝐸𝑞. 𝐵1) Para 𝒏 = 𝟒 Tem-se para 𝑟, os valores, 2 ≤ 𝑟 < 4. Deste modo: 𝛾4×2 = 𝑎1 𝑎1 𝑎2 𝑎3 + 𝑎1 𝑎1 𝑎2 𝑎4 + 𝑎1 𝑎1 𝑎2 𝑎5 + ⋯ + 𝑎1 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑚−1 + 𝑎1 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑚 + +𝑎1 𝑎1 𝑎3 𝑎4 + 𝑎1 𝑎1 𝑎3 𝑎5 + 𝑎1 𝑎1 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + 𝑎1 𝑎1 𝑎3 𝑎𝑚−1 + 𝑎1 𝑎1 𝑎3 𝑎𝑚 + +𝑎1 𝑎1 𝑎4 𝑎5 + 𝑎1 𝑎1 𝑎4 𝑎6 + +𝑎1 𝑎1 𝑎4 𝑎7 + ⋯ + 𝑎1 𝑎1 𝑎4 𝑎𝑚−1 + 𝑎1 𝑎1 𝑎4 𝑎𝑚 + + ⋯ + 𝑎1 𝑎1 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + 𝑎1 𝑎1 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚 + 𝑎1 𝑎1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 + 𝑎2 𝑎2 𝑎1 𝑎3 + +𝑎2 𝑎2 𝑎1 𝑎4 + 𝑎2 𝑎2 𝑎1 𝑎5 + 𝑎2 𝑎2 𝑎1 𝑎6 … + 𝑎2 𝑎2 𝑎1 𝑎𝑚−1 + 𝑎2 𝑎2 𝑎1 𝑎𝑚 + +𝑎2 𝑎2 𝑎3 𝑎4 + 𝑎2 𝑎2 𝑎3 𝑎5 + 𝑎2 𝑎2 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + 𝑎2 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑚−1 + +𝑎2 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑚 + 𝑎2 𝑎2 𝑎4 𝑎5 + 𝑎2 𝑎2 𝑎4 𝑎6 + 𝑎2 𝑎2 𝑎4 𝑎7 + ⋯ + 𝑎2 𝑎2 𝑎4 𝑎𝑚−1 + +𝑎2 𝑎2 𝑎4 𝑎𝑚 + 𝑎2 𝑎2 𝑎5 𝑎6 + 𝑎2 𝑎2 𝑎5 𝑎7 + 𝑎2 𝑎2 𝑎5 𝑎8 + ⋯ + 𝑎2 𝑎2 𝑎5 𝑎𝑚−1 + +𝑎2 𝑎2 𝑎5 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎2 𝑎2 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + 𝑎2 𝑎2 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎2 𝑎2 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 + + ⋯ + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎1 𝑎2 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎1 𝑎3 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎1 𝑎4 + ⋯ + +𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎1 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎1 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎2 𝑎3 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎2 𝑎4 + +𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎2 𝑎5 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎2 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎2 𝑎𝑚 + +𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎3 𝑎4 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎3 𝑎5 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + +𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎3 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎3 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−4 𝑎𝑚−3 + +𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−4 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−4 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−2 + +𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎1 𝑎2 + +𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎1 𝑎3 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎1 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎1 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎1 𝑎𝑚−1 + +𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎2 𝑎3 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎2 𝑎4 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎2 𝑎5 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎2 𝑎𝑚−2 + +𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎2 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎3 𝑎4 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎3 𝑎5 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + +𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎3 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎3 𝑎𝑚−1 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−2 + +𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 (𝐸𝑞. 𝐵2) 𝛾4×3 = 𝑎1 𝑎1 𝑎1 𝑎2 + 𝑎1 𝑎1 𝑎1 𝑎3 + 𝑎1 𝑎1 𝑎1𝑎4 + ⋯ + +𝑎1 𝑎1 𝑎1 𝑎𝑚−1 + +𝑎1 𝑎1 𝑎1 𝑎𝑚 + 𝑎2 𝑎2 𝑎2 𝑎1 + 𝑎2 𝑎2 𝑎2 𝑎3 + 𝑎2 𝑎2 𝑎2 𝑎4 + ⋯ + 𝑎2 𝑎2 𝑎2 𝑎𝑚−1 + +𝑎2 𝑎2 𝑎2 𝑎𝑚 + 𝑎3 𝑎3 𝑎3 𝑎1 + 𝑎3 𝑎3 𝑎3 𝑎2 + 𝑎3 𝑎3 𝑎3 𝑎4 + ⋯ + +𝑎3 𝑎3 𝑎3 𝑎𝑚−1 + 𝑎3 𝑎3 𝑎3 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎1 + +𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎2 + +𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 + +𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎1 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎2 + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚−2 + +𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚−1 (𝐸𝑞. 𝐵3) Simplificando a escrita das estruturas combinatórias apresentadas nas Equações 𝐵1 à 𝐵3, é possível colocar em evidência os elementos que se repetem em seus produtos e os escrevendo numa só potência, da seguinte forma: 𝛾3×2 = (𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚 ). 𝑎1 2 + (𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚 ). 𝑎2 2 + +(𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎5 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚 ). 𝑎3 2 + ⋯ + +(𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚 ). 𝑎𝑚−1 2 + (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 ). 𝑎𝑚 2 (𝐸𝑞. 𝐵4) 𝛾4×2 = (𝑎2 𝑎3 + 𝑎2 𝑎4 + 𝑎2 𝑎5 + ⋯ + 𝑎2 𝑎𝑚−1 + 𝑎2 𝑎𝑚 + 𝑎3 𝑎4 + 𝑎3 𝑎5 + 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + +𝑎3 𝑎𝑚−1 + 𝑎3 𝑎𝑚 + +𝑎4 𝑎5 + 𝑎4 𝑎6 + 𝑎4 𝑎7 + ⋯ + 𝑎4 𝑎𝑚−1 + 𝑎4 𝑎𝑚 + +𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 ). 𝑎1 2 + (𝑎1 𝑎3 + 𝑎1 𝑎4 + 𝑎1 𝑎5 + 𝑎1 𝑎6 + + ⋯ + 𝑎1 𝑎𝑚−1 + 𝑎1 𝑎𝑚 + 𝑎3 𝑎4 + 𝑎3 𝑎5 + 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + 𝑎3 𝑎𝑚−1 + 𝑎3 𝑎𝑚 + +𝑎4 𝑎5 + 𝑎4 𝑎6 + 𝑎4 𝑎7 + ⋯ + 𝑎4 𝑎𝑚−1 + 𝑎4 𝑎𝑚 + 𝑎5 𝑎6 + 𝑎5 𝑎7 + 𝑎5 𝑎8 + + ⋯ + 𝑎5 𝑎𝑚−1 + 𝑎5 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 ). 𝑎2 2 + + ⋯ + (𝑎1 𝑎2 + 𝑎1 𝑎3 + 𝑎1 𝑎4 + ⋯ + 𝑎1 𝑎𝑚−2 + 𝑎1 𝑎𝑚 + 𝑎2 𝑎3 + 𝑎2 𝑎4 + 𝑎2 𝑎5 + + ⋯ + 𝑎2 𝑎𝑚−2 + 𝑎2 𝑎𝑚 + 𝑎3 𝑎4 + 𝑎3 𝑎5 + 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + 𝑎3 𝑎𝑚−2 + 𝑎3 𝑎𝑚 + ⋯ + +𝑎𝑚−4 𝑎𝑚−3 + 𝑎𝑚−4 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚−4 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚 ). 𝑎𝑚−1 2 + +𝑎1 𝑎2 + 𝑎1 𝑎3 + 𝑎1 𝑎4 + ⋯ + 𝑎1 𝑎𝑚−2 + 𝑎1 𝑎𝑚−1 + 𝑎2 𝑎3 + 𝑎2 𝑎4 + 𝑎2 𝑎5 + ⋯ + +𝑎2 𝑎𝑚−1 + 𝑎3 𝑎4 + 𝑎3 𝑎5 + 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + 𝑎3 𝑎𝑚−2 + 𝑎3 𝑎𝑚−1 + ⋯ + 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−2 + +𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 ). 𝑎𝑚 2 (𝐸𝑞. 𝐵5) 𝛾4×3 = (𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚 ). 𝑎1 3 + (𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 + +𝑎𝑚 ). 𝑎2 3 + (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚 ). 𝑎3 3 + (𝑎1 + 𝑎2 + +𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚 ). 𝑎𝑚−1 3 + (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑚−2 + +𝑎𝑚−1 ). 𝑎𝑚 3 (𝐸𝑞. 𝐵6) Para 𝒏 = 𝟓 Seguindo com este modo de escrita, temos para 𝑟 os valores, 2 ≤ 𝑟 < 5, sendo: 𝛾5×2 = (𝑎2 𝑎3 𝑎4 + 𝑎2 𝑎3 𝑎5 + 𝑎2 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑚−1 + 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑚 + 𝑎2 𝑎4 𝑎5 + 𝑎2 𝑎4 𝑎6 + 𝑎2 𝑎4 𝑎7 + ⋯ + 𝑎2 𝑎4 𝑎𝑚−1 + 𝑎2 𝑎4 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎2 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + 𝑎2 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚 + 𝑎2 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 + 𝑎3 𝑎4 𝑎5 + 𝑎3 𝑎4 𝑎6 + 𝑎3 𝑎4 𝑎7 + ⋯ + 𝑎3 𝑎4 𝑎𝑚−1 + 𝑎3 𝑎4 𝑎𝑚 + 𝑎3 𝑎5 𝑎6 + 𝑎3 𝑎5 𝑎7 + 𝑎3 𝑎5 𝑎8 + … + 𝑎3 𝑎5 𝑎𝑚−1 + 𝑎3 𝑎5 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎3 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 ). 𝑎1 2 + (𝑎1 𝑎3 𝑎4 + 𝑎1 𝑎3 𝑎5 + 𝑎1 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + 𝑎1 𝑎3 𝑎𝑚−1 + 𝑎1 𝑎3 𝑎𝑚 + 𝑎1 𝑎4 𝑎5 + 𝑎1 𝑎4 𝑎6 + 𝑎1 𝑎4 𝑎7 + ⋯ + 𝑎1 𝑎4 𝑎𝑚−1 + 𝑎1 𝑎4 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎1 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + 𝑎1 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚 + 𝑎1 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 + 𝑎3 𝑎4 𝑎5 + 𝑎3 𝑎4 𝑎6 + 𝑎3 𝑎4 𝑎7 + ⋯ + 𝑎3 𝑎4 𝑎𝑚−1 + 𝑎3 𝑎4 𝑎𝑚 + 𝑎3 𝑎5 𝑎6 + 𝑎3 𝑎5 𝑎7 + 𝑎3 𝑎5 𝑎8 + … + 𝑎3 𝑎5 𝑎𝑚−1 + 𝑎3 𝑎5 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎3 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 ). 𝑎2 2 + ⋯ + (𝑎1 𝑎2 𝑎3 + 𝑎1 𝑎2 𝑎4 + 𝑎1 𝑎2 𝑎5 + ⋯ + 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑚−2 + 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑚−1 + 𝑎1 𝑎3 𝑎4 + 𝑎1 𝑎3 𝑎5 + 𝑎1 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + 𝑎1 𝑎3 𝑎𝑚−2 + 𝑎1 𝑎3 𝑎𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−2 + 𝑎1 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−1 + 𝑎1 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + 𝑎2 𝑎3 𝑎4 + 𝑎2 𝑎3 𝑎5 + 𝑎2 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑚−2 + 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑚−1 + 𝑎2 𝑎4 𝑎5 + 𝑎2 𝑎4 𝑎6 + 𝑎2 𝑎4 𝑎7 + ⋯ + 𝑎2 𝑎4 𝑎𝑚−2 + 𝑎2 𝑎4 𝑎𝑚−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + ⋯ + 𝑎𝑚−4 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚−4 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−4 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 ). 𝑎𝑚 2 (𝐸𝑞. 𝐵7) 𝛾5×3 = (𝑎2 𝑎3 + 𝑎2 𝑎4 + 𝑎2 𝑎5 + ⋯ + 𝑎2 𝑎𝑚−1 + 𝑎2 𝑎𝑚 + 𝑎3 𝑎4 + 𝑎3 𝑎5 + 𝑎3 𝑎6 + + ⋯ + 𝑎3 𝑎𝑚−1 + 𝑎3 𝑎𝑚 + 𝑎4 𝑎5 + +𝑎4 𝑎6 + 𝑎4 𝑎7 + ⋯ + 𝑎4 𝑎𝑚−1 + 𝑎4 𝑎𝑚 + + ⋯ + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 ). 𝑎1 3 + (𝑎1 𝑎3 + 𝑎1 𝑎4 + 𝑎1 𝑎5 + + ⋯ + 𝑎1 𝑎𝑚−1 + 𝑎1 𝑎𝑚 + 𝑎3 𝑎4 + 𝑎3 𝑎5 + 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + 𝑎3 𝑎𝑚−1 + 𝑎3 𝑎𝑚 + +𝑎4 𝑎5 + 𝑎4 𝑎6 + 𝑎4 𝑎7 + ⋯ + 𝑎4 𝑎𝑚−1 + 𝑎4 𝑎𝑚 + 𝑎5 𝑎6 + 𝑎5 𝑎7 + +𝑎5 𝑎8 + ⋯ + 𝑎5 𝑎𝑚−1 + 𝑎5 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + +𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 ). 𝑎2 3 + (𝑎1 𝑎2 + 𝑎1 𝑎4 + 𝑎1 𝑎5 + ⋯ + 𝑎1 𝑎𝑚−1 + 𝑎1 𝑎𝑚 + +𝑎2 𝑎4 + 𝑎2 𝑎5 + 𝑎2 𝑎6 + ⋯ + 𝑎2 𝑎𝑚−1 + 𝑎2 𝑎𝑚 + 𝑎4 𝑎5 + 𝑎4 𝑎6 + 𝑎4 𝑎7 + + ⋯ + 𝑎4 𝑎𝑚−1 + 𝑎4 𝑎𝑚 + 𝑎5 𝑎6 + 𝑎5 𝑎7 + 𝑎5 𝑎8 + ⋯ + 𝑎5 𝑎𝑚−1 + 𝑎5 𝑎𝑚 + +𝑎6 𝑎7 + 𝑎6 𝑎8 + 𝑎6 𝑎9 + ⋯ + 𝑎6 𝑎𝑚−1 + 𝑎6 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚 + +𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 ). 𝑎3 3 + (𝑎1 𝑎2 + 𝑎1 𝑎3 + 𝑎1 𝑎4 + ⋯ + 𝑎1 𝑎𝑚−2 + 𝑎1 𝑎𝑚 + 𝑎2 𝑎3 + 𝑎2 𝑎4 + 𝑎2 𝑎5 + ⋯ + 𝑎2 𝑎𝑚−2 + 𝑎2 𝑎𝑚 + 𝑎3 𝑎4 + 𝑎3 𝑎5 + 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + 𝑎3 𝑎𝑚−2 + 𝑎3 𝑎𝑚 + ⋯ + 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚 ). 𝑎𝑚−1 3 + (𝑎1 𝑎2 + 𝑎1 𝑎3 + 𝑎1 𝑎4 + ⋯ + 𝑎1 𝑎𝑚−2 + 𝑎1 𝑎𝑚−1 + 𝑎2 𝑎3 + 𝑎2 𝑎4 + 𝑎2 𝑎5 + ⋯ + 𝑎2 𝑎𝑚−2 + 𝑎2 𝑎𝑚−1 + 𝑎3 𝑎4 + 𝑎3 𝑎5 + 𝑎3 𝑎6 + ⋯ + 𝑎3 𝑎𝑚−2 + 𝑎3 𝑎𝑚−1 + ⋯ + 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚−3 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−2 𝑎𝑚−1 ). 𝑎𝑚 3 (𝐸𝑞. 𝐵8) Para 𝑟 = 4 𝛾5×4 = (𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚 ). 𝑎1 4 + (𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 + +𝑎𝑚 ). 𝑎2 4 + (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎5 + ⋯ + 𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚 ). 𝑎3 4 + + ⋯ + (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚 ). 𝑎𝑚−1 4 + +𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑚−2 + 𝑎𝑚−1 ). 𝑎𝑚 4 (𝐸𝑞. 𝐵9) Observando as equações (𝐵4 à 𝐵9), é possível compreender de uma forma mais precisa o caso geral, em que podemos escrever qualquer 𝛾𝑛 𝑥 𝑟 , para 2 ≤ 𝑟 < 𝑛, do seguinte modo: 𝛾𝑛 𝑥 𝑟 = 𝛾𝑛 𝑥 𝑟1 + 𝛾𝑛 𝑥 𝑟2 + 𝛾𝑛 𝑥 𝑟3 + ⋯ + 𝛾𝑛 𝑥 𝑟𝑚 , (𝐸𝑞. 𝐵10) Definindo 𝛾𝑛 𝑥 𝑟𝑖 , como sendo: 𝛾𝑛 𝑥 𝑟𝑖 : Estrutura combinatória que é a soma dos produtos de elementos de um conjunto numérico, tomados 𝑛 a 𝑛, tendo em cada um deles, o elemento 𝑎𝑖 repetido como fator 𝑟 vezes, e os (𝑛 − 𝑟) fatores restantes, sendo diferentes de 𝑎𝑖 , e diferentes entre si. Deste modo, podemos ver 𝛾𝑛 𝑥 𝑟𝑖 como a parte dos produtos de 𝛾𝑛 𝑥 𝑟 que tem como fatores repetidos o elemento 𝑎𝑖 . Podemos escrever a (Eq. B10) como: 𝑚 𝛾𝑛 𝑥 𝑟 = ∑ 𝛾𝑛 𝑥 𝑟𝑖 Observando os parênteses do 2º membro da (Eq. 𝐵4), cada um deles está sendo multiplicado por um 𝑎𝑖 , no qual chamamos de seu 𝑎𝑖 associado, escrevendo cada um desses parênteses em relação ao seu 𝑎𝑖 associado, utilizando-se da definição de [𝐵(𝑛)]𝑖 , tem-se que: 𝑦3𝑥2 = [𝐵(1)]1 . 𝑎1 2 + [𝐵(1)]2 . 𝑎2 2 + [𝐵(1)]3 . 𝑎3 2 + ⋯ + [𝐵(1)]𝑚−1 . 𝑎𝑚−1 2 + +[𝐵(1)]𝑚 . 𝑎𝑚 2 𝑚 𝑦3𝑥2 = ∑[𝐵(1)]𝑖 . 𝑎𝑖 2 (𝐸𝑞. 𝐵11) Do mesmo modo, observando os parênteses do 2º membro da (Eq. 𝐵5), nos quais, estão multiplicados por seu 𝑎𝑖 associado, escrevendo cada um desses parênteses em relação ao seu 𝑎𝑖 associado, tem-se que: 𝑦4𝑥2 = [𝐵(2)]1 . 𝑎1 2 + [𝐵(2)]2 . 𝑎2 2 + [𝐵(2)]3 . 𝑎3 2 + ⋯ + [𝐵(2)]𝑚−1 . 𝑎𝑚−1 2 + +[𝐵(2)]𝑚 . 𝑎𝑚 2 Desta forma: 𝑚 𝑦4𝑥2 = ∑[𝐵(2)]𝑖 . 𝑎𝑖 2 (𝐸𝑞. 𝐵12) De forma análoga vai ocorrer para as equações (𝐵6 à 𝐵9) as quais pode-se reescrevê-las como: A (Eq. 𝐵6), sendo: 𝑦4𝑥3 = [𝐵(1)]1 . 𝑎3 2 + [𝐵(1)]2 . 𝑎2 3 + [𝐵(1)]3 . 𝑎3 3 + ⋯ + [𝐵(1)]𝑚−1 . 𝑎𝑚−1 3 + +[𝐵(1)]𝑚 . 𝑎𝑚 3 Que é o mesmo que: 𝑚 𝑦4𝑥3 = ∑[𝐵(1)]𝑖 . 𝑎𝑖 3 (𝐸𝑞. 𝐵13) A (𝐸𝑞. 𝐵7), sendo: 𝑦5𝑥2 = [𝐵(3)]1 . 𝑎1 2 + [𝐵(3)]2 . 𝑎2 2 + [𝐵(3)]3 . 𝑎3 2 + ⋯ + [𝐵(3)]𝑚−1 . 𝑎𝑚−1 2 + +[𝐵(3)]𝑚 . 𝑎𝑚 2 𝑚 𝑦5𝑥2 = ∑[𝐵(3)]𝑖 . 𝑎𝑖 2 (𝐸𝑞. 𝐵14) A (𝐸𝑞. 𝐵8): 𝑦5𝑥3 = [𝐵(2)]1 . 𝑎1 3 + [𝐵(2)]2 . 𝑎2 3 + [𝐵(2)]3 . 𝑎3 3 + ⋯ + [𝐵(2)]𝑚−1 . 𝑎𝑚−1 3 + +[𝐵(2)]𝑚 . 𝑎𝑚 2 Portanto: 𝑚 𝑦5𝑥3 = ∑[𝐵(2)]𝑖 . 𝑎𝑖 3 (𝐸𝑞. 𝐵15) A (𝐸𝑞. 𝐵9): 𝑦5𝑥4 = [𝐵(1)]1 . 𝑎1 4 + [𝐵(1)]2 . 𝑎2 4 + [𝐵(1)]3 . 𝑎3 4 + ⋯ + [𝐵(1)]𝑚−1 . 𝑎𝑚−1 4 + +[𝐵(1)]𝑚 . 𝑎𝑚 4 𝑚 𝑦5𝑥4 = ∑[𝐵(1)]𝑖 . 𝑎𝑖 4 (𝐸𝑞. 𝐵16) Tomando como exemplos a modelagem das escritas dos 𝑦𝑛𝑥𝑟 das equações (𝐵11 à 𝐵16) para melhor compreensão do caso geral da escrita dos 𝑦𝑛𝑥𝑟 , para 2 ≤ 𝑟 < 𝑛, em que, pode-se escrever estes 𝑦𝑛𝑥𝑟 , colocando os 𝑎𝑖 𝑟 em evidência, aos quais cada um deles, vai ser multiplicado pela soma de todos os produtos de (𝑛 − 𝑟) elementos diferentes do conjunto 𝐴𝑖 = 𝐴 − {𝑎𝑖 }, que pela definição de [𝐵(𝑛)]𝑖 , esta soma corresponde à [𝐵(𝑛 − 𝑟)]𝑖 . Desta forma, pode-se escrever de modo geral 𝑦𝑛𝑥𝑟 , para 2 ≤ 𝑟 < 𝑛, como sendo: 𝑦𝑛𝑥𝑟 = [𝐵(𝑛 − 𝑟)]1 . 𝑎1 𝑟 + [𝐵(𝑛 − 𝑟)]2 . 𝑎2 𝑟 + [𝐵(𝑛 − 𝑟)]3 . 𝑎3 𝑟 + ⋯ + +[𝐵(𝑛 − 𝑟)]𝑚−1 . 𝑎𝑚−1 𝑟 + [𝐵(𝑛 − 𝑟)]𝑚 . 𝑎𝑚 𝑟 Que é o mesmo que: 𝑚 𝑦𝑛𝑥𝑟 = ∑[𝐵(𝑛 − 𝑟)]𝑖 . 𝑎𝑖 𝑟 (𝐸𝑞. 𝐵17) APÊNDICE C - CÁLCULO DO ∑𝒎 𝒊=𝟏[𝑩(𝒏 − 𝟏)]𝒊 . 𝒂𝒊 Para analisar o somatório ∑𝑚 𝑖=1[𝐵(𝑛 − 1)]𝑖 . 𝑎𝑖 , precisa-se generalizar uma forma de escrita para 𝐵(𝑛), em que descrimine todos os seus produtos, para em seguida, com esta forma, estruturar o padrão de escrita de [𝐵(𝑛)]𝑖 , para assim, analisar o ∑𝑚 𝑖=1[𝐵(𝑛 − 1)]𝑖 . 𝑎𝑖 . Para fazer esta análise, pode-se começar observando a descrição de 𝐵(𝑛) para ter uma melhor visualização do caso geral da escrita de 𝐵(𝑛). Pode-se reescrever essas equações da seguinte forma: 𝑛 𝐵(1) = ∑ 𝑎𝑖 𝐶𝑚,2 𝐶𝑚,2 2 𝐵(2) = ∑ (𝑎𝑗1 𝑎𝑗 2 ) = ∑ (∏ 𝑎𝑗𝑘 ) , (𝐸𝑞. 𝐶1) 𝑝 𝑝=1 𝑝=1 𝑘=1 𝑝 com 𝑗1 ∈ [1, 𝑚 − 1], e 𝑗2 ∈ [2, 𝑚], sendo, 𝑗1 < 𝑗2 , nos quais, 𝑗1 , 𝑗2 ∈ ℕ; sendo, 𝑎𝑗𝑘 ∈ 𝐴, com 𝑘 ∈ [1, 2] e 𝑘 ∈ ℕ. Para mantermos o mesmo padrão de escrita, adotado na descrição do 𝐵(2), vejamos (𝑎𝑗1 𝑎𝑗2 )𝑝 = 𝑎(𝑗1 )𝑝 𝑎(𝑗2 )𝑝 , para 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,2 ], sendo, 𝐶𝑚,2 o total de produtos de 𝑛 elementos que tem na soma de 𝐵(2) e (𝑎𝑗1 𝑎𝑗2 )𝑝 cada um desses produtos; de modo que, (𝑗𝑘 )𝑝 ≤ (𝑗𝑘 )𝑝+1 , para 𝑘 ∈ [1, 2], e 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,2 − 1], com 𝑘, 𝑝 ∈ ℕ, (𝑗𝑘 )𝑡 ∈ [1, 𝑚], para 𝑡 ∈ [1, 𝐶𝑚,2 ], 𝑡 e (𝑗𝑘 )𝑡 ∈ ℕ. 𝐵(3)pode ser escrito como: 𝐶𝑚,3 𝐶𝑚,3 3 𝐵(3) = ∑ (𝑎𝑗1 𝑎𝑗 2 𝑎𝑗3 ) = ∑ (∏ 𝑎𝑗𝑘 ) , (𝐸𝑞. 𝐶2) 𝑝 𝑝=1 𝑝=1 𝑘=1 𝑝 com 𝑗1 ∈ [1, 𝑚 − 2], 𝑗2 ∈ [2, 𝑚 − 1] , e 𝑗3 ∈ [3, 𝑚], sendo, 𝑗1 < 𝑗2 < 𝑗3 , com 𝑗𝑘 ∈ ℕ, para 𝑘 ∈ [1, 3], sendo, 𝑘 ∈ ℕ, com 𝑎𝑗𝑘 ∈ 𝐴 e 𝑘 ∈ [1, 3]. Para manter o padrão de escrita dos produtos de 𝐵(3) ,assim como, o da Eq. 3, pode-se ver, (∏3𝑘=1 𝑎𝑗𝑘 ) = ∏3𝑘=1 𝑎(𝑗𝑘 )𝑝 , para 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,3 ], sendo, 𝐶𝑚,3 o número de produtos que 𝑝 tem na soma do 𝐵(3), e (∏3𝑘=1 𝑎𝑗𝑘 ) com 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,3 ], cada um desses produtos e 𝑝 sendo (𝑗𝑘 )𝑝 ≤ (𝑗𝑘 )𝑝+1 , para 𝑘 ∈ [1, 3], e 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,3 − 1], com 𝑘, 𝑝 ∈ ℕ, (𝑗𝑘 )𝑡 ∈ [1, 𝑚], para 𝑡 ∈ [1, 𝐶𝑚,3 ], 𝑡 e (𝑗𝑘 )𝑡 ∈ ℕ. Pode-se reescrever a descrição das variáveis das equações (𝐶1 e 𝐶2), da seguinte forma: 𝐶𝑚,2 𝐶𝑚,2 2 𝐵(2) = ∑ (𝑎𝑗1 𝑎𝑗 2 ) = ∑ (∏ 𝑎𝑗𝑘 ) (𝐸𝑞. 𝐶3) 𝑝 𝑝=1 𝑝=1 𝑘=1 𝑝 com 𝑗𝑘 ∈ [𝑘, 𝑘 + 𝑚 − 2], para 𝑘 ∈ [1, 2], sendo, 𝑗1 < 𝑗2 , com 𝑗𝑘 ∈ ℕ, e 𝑎𝑗𝑘 ∈ 𝐴, para 𝑘 ∈ [1, 2]; de modo que: (∏2𝑘=1 𝑎𝑗𝑘 ) = ∏2𝑘=1 𝑎(𝑗𝑘 )𝑝 , para 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,2 ], sendo, (𝑗𝑘 )𝑝 ≤ 𝑝 (𝑗𝑘 )𝑝+1 , para 𝑘 ∈ [1, 2], e 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,2 − 1], com 𝑘, 𝑝 ∈ ℕ, (𝑗𝑘 )𝑡 ∈ [1, 𝑚], para 𝑡 ∈ [1, 𝐶𝑚,2 ], 𝑡 e (𝑗𝑘 )𝑡 ∈ ℕ. Por sua vez, 𝐵(3) pode ser reescrito como: 𝐶𝑚,3 𝐶𝑚,3 3 𝐵(3) = ∑ (𝑎𝑗1 𝑎𝑗 2 𝑎𝑗3 ) = ∑ (∏ 𝑎𝑗𝑘 ) (𝐸𝑞. 𝐶4) 𝑝 𝑝=1 𝑝=1 𝑘=1 𝑝 com 𝑗𝑘 ∈ [𝑘, 𝑘 + 𝑚 − 3], para 𝑘 ∈ [1, 3], sendo, 𝑗𝑘 < 𝑗𝑘+1 , para 𝑘 ∈ [1, 2], com 𝑗𝑘 ∈ ℕ, e 𝑎𝑗𝑘 ∈ 𝐴, para 𝑘 ∈ [1, 2]; de modo que: (∏3𝑘=1 𝑎𝑗𝑘 ) = ∏3𝑘=1 𝑎(𝑗𝑘 )𝑝 , para 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,3 ], 𝑝 sendo, (𝑗𝑘 )𝑝 ≤ (𝑗𝑘 )𝑝+1 , para 𝑘 ∈ [1, 3], e 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,3 − 1], (𝑗𝑘 )𝑡 ∈ [1, 𝑚], para 𝑡 ∈ [1, 𝐶𝑚,3 ], 𝑡 e (𝑗𝑘 )𝑡 ∈ ℕ. Seguindo com este modelo de descrição, pode-se reescrever 𝐵(4) como: 𝐶 𝐶 𝑚,4 A (Eq. 4): 𝐵(4) = ∑𝑝=1 𝑚,4 (𝑎𝑗1 𝑎𝑗 2 𝑎𝑗3 𝑎𝑗4 ) = ∑𝑝=1 (∏4𝑘=1 𝑎𝑗𝑘 ) (𝐸𝑞. 𝐶5) 𝑝 𝑝 com 𝑗𝑘 ∈ [𝑘, 𝑘 + 𝑚 − 4], com 𝑘 ∈ [1, 4], sendo, 𝑗𝑘 < 𝑗𝑘+1 , para 𝑘 ∈ [1,3], com 𝑗𝑘 ∈ ℕ e 𝑎𝑗𝑘 ∈ 𝐴, para 𝑘 ∈ [1, 4]. Para descrever 𝐵(4), utilizando a identidade (∏4𝑘=1 𝑎𝑗𝑘 ) = 𝑝 ∏4𝑘=1 𝑎(𝑗𝑘 )𝑝 , para 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,4 ], sendo, (𝑗𝑘 )𝑝 ≤ (𝑗𝑘 )𝑝+1 , para 𝑘 ∈ [1, 4], e 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,4 − 1], sendo, 𝐶𝑚,4 o número de produtos que tem na soma de 𝐵(4) e (∏4𝑘=1 𝑎𝑗𝑘 ) para 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,4 ], cada um desses produtos, e (𝑗𝑘 )𝑡 ∈ [1, 𝑚], para 𝑝 𝑡 ∈ [1, 𝐶𝑚,4 ], 𝑡 e (𝑗𝑘 )𝑡 ∈ ℕ. Já para 𝐵(5), temos: 𝐶𝑚,5 𝐶𝑚,5 5 𝐵(5) = ∑ (𝑎𝑗1 𝑎𝑗 2 𝑎𝑗3 𝑎𝑗4 𝑎𝑗5 ) = ∑ (∏ 𝑎𝑗𝑘 ) (𝐸𝑞. 𝐶6) 𝑝 𝑝=1 𝑝=1 𝑘=1 𝑝 com 𝑗𝑘 ∈ [𝑘, 𝑘 + 𝑚 − 5], sendo 𝑘 ∈ [1, 5], 𝑗𝑘 < 𝑗𝑘+1 , para 𝑘 ∈ [1,4], sendo, 𝑗𝑘 ∈ ℕ e 𝑎𝑗𝑘 ∈ 𝐴, com 𝑘 ∈ [1, 5]. Mantendo o mesmo padrão de escrita de 𝐵(5), tem-se (∏5𝑘=1 𝑎𝑗𝑘 ) = ∏5𝑘=1 𝑎(𝑗𝑘 )𝑝 , para 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,5 ] e sendo (𝑗𝑘 )𝑝 ≤ (𝑗𝑘 )𝑝+1 , para 𝑘 ∈ [1, 5] e 𝑝 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,5 − 1], sendo, 𝐶𝑚,5 o número de produtos da soma de 𝐵(5), e (∏5𝑘=1 𝑎𝑗𝑘 ) 𝑝 para 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,5 ], cada um deles, e (𝑗𝑘 )𝑡 ∈ [1, 𝑚], para 𝑡 ∈ [1, 𝐶𝑚,4 ], 𝑡 e (𝑗𝑘 )𝑡 ∈ ℕ. Observando as equações (𝐶3 à 𝐶6 ), e as descrições de suas variáveis, pode-se visualizar e entender melhor o caso geral da escrita de 𝐵(𝑛) descrevendo todos os seus produtos, como sendo: 𝐶𝑚,𝑛 𝐶𝑚,𝑛 𝑛 𝐵(𝑛) = ∑ (𝑎𝑗1 𝑎𝑗 2 𝑎𝑗3 … 𝑎𝑗𝑛 ) = ∑ (∏ 𝑎𝑗𝑘 ) (𝐸𝑞. 𝐶7) 𝑝 𝑝=1 𝑝=1 𝑘=1 𝑝 com 𝑗𝑘 ∈ [𝑘, 𝑘 + 𝑚 − 𝑛], com 𝑘 ∈ [1, 𝑛], sendo, 𝑗𝑘 < 𝑗𝑘+1 , 𝑘 ∈ [1, 𝑛 − 1], sendo, 𝑗𝑘 ∈ ℕ e 𝑎𝑗𝑘 ∈ 𝐴, com 𝑘 ∈ [1, 𝑛]. Vejamos (∏𝑛𝑘=1 𝑎𝑗𝑘 ) = ∏𝑛𝑘=1 𝑎(𝑗𝑘 )𝑝 , para 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,𝑛 ], 𝑝 sendo, 𝐶𝑚,𝑛 o número de produtos da soma do 𝐵(𝑛) e (∏𝑛𝑘=1 𝑎𝑗𝑘 ) cada um desses 𝑝 produtos, sendo (𝑗𝑘 )𝑝 ≤ (𝑗𝑘 )𝑝+1 , para 𝑘 ∈ [1, 𝑛] e 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,𝑛 − 1], sendo, 𝐶𝑚,𝑛 o número de produtos da soma de 𝐵(𝑛), e (∏𝑛𝑘=1 𝑎𝑗𝑘 ) para 𝑝 ∈ [1, 𝐶𝑚,𝑛 ], cada um 𝑝 deles, e (𝑗𝑘 )𝑡 ∈ [1, 𝑚], para 𝑡 ∈ [1, 𝐶𝑚,𝑛 ], 𝑡 e (𝑗𝑘 )𝑡 ∈ ℕ. Feito a análise da escrita do 𝐵(𝑛), conforme apresentada acima, pode-se analisar a escrita do [𝐵(𝑛)]𝑖 , para 𝑖 ∈ [1, 𝑚], e 𝑖 ∈ ℕ. Para continuar de modo didático, vai ser escrito de forma analítica alguns [𝐵(𝑛)]𝑖 , para alguns valores de 𝑖: Para 𝑖 = 1 Da definição de [𝐵(𝑛)]𝑖 , [𝐵(𝑛)]1 é um novo 𝐵(𝑛), só que associado ao conjunto 𝐴1 = 𝐴 − {𝑎1 }. Desta forma, o padrão geral de escrita do [𝐵(𝑛)]1 é o mesmo do 𝐵(𝑛) da (Eq.𝐶7) só que ao invés de 𝑎𝑗𝑘 ∈ 𝐴, 𝑎𝑗𝑘 ∈ 𝐴1 , tendo 𝐴1 , 𝑚 − 1 elementos; deste modo, temos que: 𝐶𝑚−1,𝑛 𝐶𝑚−1,𝑛 𝑛 [𝐵(𝑛)]1 = [ ∑ (𝑎𝑗1 𝑎𝑗 𝑎𝑗3 … 𝑎𝑗𝑛 ) ] = [ ∑ (∏ 𝑎𝑗𝑘 ) ] (𝐸𝑞. 𝐶8)