Esse Capítulo apresenta alguns conceitos e definições matemáticas que são base para o conhecimento e entendimento das características geométricas dos poliedros regulares. 3.1 DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS Os conceitos, entes ou termos que compõem as noções geométricas são apresentados por meio de definições. O ponto, a reta e o plano (Fig. 1) são elementos matemáticos que fundamentam a Geometria e por isso são chamados de noções primitivas. Entretanto, como esses conceitos primitivos ou noções primitivas não possuem definição, Dolce e Pompeo (1993) explicam que de cada um desses entes temos conhecimento intuitivo, decorrente da experiência e observação. Figura 1. Elementos geométricos primitivos: ponto (a); reta (b) e plano (c). Por outro lado, Lima et al. (2004) considera também que “o fato de ponto, reta, plano e espaço serem noções primitivas da Geometria não significa que não se possa reforçar a intuição do aluno a respeito dessas noções”. Nessa perspectiva, para Leonardo (2016), “um ponto não tem dimensão, nem massa, nem volume. Uma reta não tem espessura, nem começo, nem fim. Um plano não tem espessura nem fronteiras”. Além disso, para Dolce e Pompeo (1993, p. 1) e Paiva (2015, p. 171) “o espaço é conjunto de todos os pontos”. Uma definição mais abrangente de espaço considerando as coordenadas dos pontos de acordo com os eixos cartesianos x, y e z é dada por Steinbruch e Winterle (1987). Esses autores consideram que o conjunto 𝑅 3 = 𝑅 x 𝑅 x 𝑅 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) / 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅} é interpretado como o espaço cartesiano tridimensional Oxyz. Partindo da compreensão intuitiva das noções primitivas de ponto e reta, Dolce e Pompeo (1993) definiram segmento de reta como a reunião de dois pontos distintos com o conjunto de pontos que estão entre eles. Quando a extremidade de um segmento de reta coincide com a extremidade de outro segmento de reta, diz-se que os segmentos de reta são consecutivos. Reis (2013) chamou de linha poligonal, a linha formada por segmentos de reta, e de vértices da poligonal, as extremidades dos segmentos de reta que compõem a poligonal. Essa linha poligonal é dita fechada quando cada vértice é partilhado por exatamente dois segmentos, caso contrário, é dita aberta, conforme ilustrado na Fig. 2. Figura 2. Ilustração de linha poligonal aberta (a) e fechada (b). Paiva (2015) destaca que a extremidade de cada um dos segmentos que compõem a linha poligonal fechada é extremidade de dois e apenas dois segmentos dessa linha poligonal fechada. Além disso, na linha poligonal fechada dois segmentos consecutivos quaisquer não são colineares entre si e dois segmentos não consecutivos quaisquer não tem ponto em comum entre si. Para esse autor a reunião da linha que separa o plano em duas regiões, das quais uma é limitada, com essa região limitada é uma superfície plana denominada polígono, do grego polús, “muitos”, e gonos, “ângulo”. Contudo, para Leonardo (2016) um polígono divide o plano que o contém em duas regiões distintas, uma interna e outra externa. A figura formada pela união do polígono como ilustrado na Fig. 3a com sua região interna é denominada superfície poligonal ou região poligonal (Fig. 3b). Figura 3. Ilustração de polígono (a) e região poligonal (b). Diante da divergência entre definições adotadas por alguns autores, para os objetivos desse trabalho, considera-se a definição de polígono dada por Dolce e Pompeo (1993, p. 132): Dada uma sequência de pontos de um plano (A1, A2, ..., An) com n ≥ 3, todos distintos, onde três pontos consecutivos não são colineares, considerando-se consecutivos An-1, An e A1, assim como An, A1 e A2, chamase polígono à reunião dos segmentos A1 A2 , A2 A3 , … , A𝑛−1 A𝑛 , A𝑛 A1 . Os pontos A1, A2, ..., An são os vértices do polígono, os segmentos A1 A2 , A2 A3 , … , A𝑛−1 A𝑛 , A𝑛 A1 são os lados do polígono, e desta forma, um polígono de n vértices possui n lados e n ângulos. A nomenclatura de um polígono é dada de acordo com sua quantidade de lados ou vértices, como exemplificado na Tab. 1. Os polígonos podem ser classificados em polígonos convexos ou nãoconvexos. Para Balestri (2016) um polígono é convexo quando todo segmento de reta ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 , que une dois pontos A e B quaisquer pertencentes à sua região poligonal, está inteiramente contido na região poligonal (Fig. 4a). Pode se dizer também que um polígono é convexo quando qualquer reta r que passa pela sua região interna intercepta seu contorno em apenas dois pontos (Fig. 4a). De forma análoga, o polígono é dito não-convexo (ou côncavo) quando existir dois pontos A e B quaisquer pertencentes à sua região poligonal, unidos por um segmento de reta que não está completamente inserido na sua região poligonal (Fig. 4b) ou quando a reta r que passa pela sua região interna intercepta seu contorno em três pontos ou mais. (Fig. 4b). Tabela 1 – Nomenclatura de alguns polígonos. Número de lados (ou vértices) Nome do polígono Fonte: Arquivos da autora. Figura 4. Ilustração de polígono convexo (a) e polígono não-convexo (b). Outra maneira de determinar se o polígono é convexo observando que, em um plano α (Fig. 5a) a reunião de uma reta s com qualquer uma das duas regiões (α1 e α2, Fig. 5b) separadas por ela é chamada de semiplano de origem s, foi descrita por Paiva (2015). O autor afirmou que um polígono é convexo se, e somente se, a reta r que contém qualquer um de seus lados deixa o polígono contido em um mesmo semiplano de origem r (Fig. 6a). Caso contrário, o polígono é não convexo ou côncavo. (Fig. 6b). Figura 5. Representação do plano α (a) e os semiplanos α1 e α2 (b). Figura 6. Ilustração de semiplanos em um polígono convexo (a) e semiplanos em um polígono não-convexo (b). Além disso, Paiva (2015) descreve que um polígono convexo que possui todos os lados e ângulos internos congruentes entre si é chamado de polígono regular. Os polígonos citados na Tab. 1 também podem ser regulares. Estes exemplos de polígonos convexos regulares são ilustrados na Fig. 7. Figura 7. Polígonos regulares. A partir dos conceitos matemáticos e das figuras geométricas de duas dimensões representadas no plano pode-se estudar figuras geométricas e suas propriedades no espaço tridimensional, como os poliedros (do grego poly, “muitas, várias”, e hedro, “face”) ilustrados na Fig. 8. Entretanto, Lima et al. (2004, p. 161) destaca que “o grande desafio em ensinar Geometria a alunos do 2º grau é fazer a transição do plano para o espaço”. Nesse sentido, a ideia apresentada por Lima et al. (2004, p. 231) para definir poliedros é que “poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos, onde cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono". Segundo Dante (2000) cada poliedro é formado por regiões poligonais e pela região do espaço limitada por elas. Outra definição dada por Muniz Neto (2013) define poliedro como um conjunto fechado e limitado do espaço, com interior não vazio e cuja fronteira consiste na união de um número finito de polígonos. De acordo com Leonardo (2016, p. 104) “poliedro é o sólido geométrico formado pela reunião de uma superfície poliédrica fechada com todos os pontos do espaço delimitados por ela”. Para Paiva (2015, p. 188): Considerando um conjunto G obtido pela reunião de n polígonos, com 𝑛 ≥ 4, tais que: quaisquer dois desses polígonos que tenham um lado em comum não são coplanares; cada lado de qualquer um desses polígonos é lado de dois e apenas dois deles. O conjunto G é chamado de superfície poliédrica fechada. Essa superfície separa o espaço em duas regiões, sendo uma delas limitada. A reunião da superfície G com essa região limitada no espaço é chamada de poliedro. Figura 8. Alguns exemplos de poliedros. Destaca-se que as definições apresentadas por Dante (2000), Muniz Neto (2013), Leonardo (2016) e Paiva (2015) consideram que o poliedro é um sólido formado pela superfície poliédrica e seu interior, mas Mialich (2013) observou que utilizar o termo poliedro para descrever o corpo sólido ou a sua casca (denominada superfície poliédrica) é um abuso similar ao de usar a palavra polígono para descrever tanto o contorno como o contorno e sua região interna (denominada região poligonal). Diante disso, Lima et al. (2004) lembrou que muitos matemáticos tiveram dificuldade em demonstrar teoremas sobre poliedros em virtude da imprecisão na definição de poliedro e destacou a importância da apresentação cuidadosa de conceitos matemáticos com definição adequada para o nível de estudo que se pretende. Nesse sentido, Richeson (2015, p. 39) citou Henri Poincaré: Os objetos com que os matemáticos se ocupam estiveram durante muito tempo mal definidos; pensávamos que os conhecíamos bem porque os representávamos com os nossos sentidos ou com a imaginação, mas tínhamos deles apenas uma imagem aproximada, e não um conceito preciso sobre o qual o raciocínio se poderia basear. Dito isso, para os objetivos desse trabalho será adotada a definição dada por Lima et al. (2004, p. 232) transcrita a seguir: Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos chamados faces onde: Cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono. A interseção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice ou é vazia; Cada lado de um polígono, comum a exatamente duas faces, é chamado uma aresta do poliedro e cada vértice de uma face é um vértice do poliedro; É sempre possível ir de um ponto de uma face a um ponto de qualquer outra, sem passar por nenhum vértice (ou seja, cruzando apenas arestas). Todo poliedro (no sentido da definição acima) limita uma região do espaço chamada de interior desse poliedro. Na definição acima foram apresentados os elementos principais dos poliedros. Face (Fig. 9a) é o nome dado a cada uma das regiões poligonais que compõem a superfície poliédrica. Aresta (Fig. 9b) é o lado comum dos polígonos adjacentes que delimitam duas faces do poliedro. O vértice (Fig. 9c) é o ponto comum a três ou mais arestas que corresponde também aos vértices dos polígonos das faces. (BALESTRI; 2016; DANTE; 2000; LEONARDO, 2016). Figura 9. Ilustração dos elementos do poliedro: face (a), aresta (b) e vértice (c). A nomenclatura dos poliedros é dada de acordo com a quantidade de suas faces ou vértices, exemplificada na Tab. 2. Tabela 2 – Nomenclatura de alguns poliedros. Número de faces Nome do poliedro Os poliedros também podem ser classificados como convexos ou não convexos. Partindo da definição de polígonos convexos, Dolce e Pompeo (1993, p. 124) definiram poliedros convexos: Considerando um número finito n (n ≥ 4) de polígonos planos convexos (ou regiões poligonais convexas) tais que: dois polígonos não estão num mesmo plano; cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos; o plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo semiespaço. Nessas condições ficam determinados n semiespaços, cada um dos quais tem origem no plano de um polígono e contém os restantes. A interseção dos semiespaços é chamado poliedro convexo. Para Lima et al. (2004) um poliedro é convexo se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no máximo, dois pontos (Fig. 10a). Caso contrário, o poliedro é denominado não convexo (ou côncavo) (Fig. 10b). Além das faces, arestas e vértices, Paiva (2015) destaca outros elementos dos poliedros convexos: as diagonais da face (Fig. 11a) e as diagonais do poliedro (Fig. 11b). São chamadas diagonais da face os segmentos de reta que ligam dois vértices não adjacentes dos polígonos que delimitam as faces do poliedro. As diagonais dos poliedros, por sua vez, são segmentos de reta cujos extremos são dois vértices que não pertencem a uma mesma face. Figura 10. Ilustração segundo definição de Lima et al. (2004) para poliedro convexo (a) e poliedro não-convexo (b). Figura 11. Ilustração da diagonal de uma face (a) e diagonal de um poliedro (b). Para Paiva (2015, p. 189), “a porção do espaço cuja superfície é a reunião dos ângulos das faces que têm um mesmo vértice em comum é chamada de ângulo poliédrico”. Esses ângulos são classificados de acordo com a quantidade de arestas que partem do mesmo vértice. Por exemplo, um ângulo poliédrico com 3 arestas é chamado de ângulo triédrico (Fig. 12a). De forma semelhante, os ângulos poliédricos com 4 e 5 arestas são chamados de ângulo tetraédrico (Fig. 12b) e ângulo pentaédrico (Fig. 12c), respectivamente. Figura 12. Ilustração de ângulo triédrico (a), ângulo tetraédrico (b) e ângulo pentaédrico (c). Além do estudo das propriedades métricas dos poliedros para determinar comprimento de lados, diagonais, ângulos, áreas das faces e volume dos poliedros, existe uma relação entre o número de faces, arestas e vértices. Em 1758, o matemático suíço Leonarhd Euler publicou um artigo o qual apresentava uma relação aritmética simples e elegante, o Teorema de Euler, que relaciona o número de faces (F), número de arestas (A) e número de vértices (V) dos poliedros: V – A + F = 2 (LIMA et al., 2004). Nesse contexto, Lima (1991, p. 73) também destacou: Assim como “polígono” em Geometria Plana pode significar tanto o contorno como a região plana por ele limitada, também “poliedro” às vezes significa um corpo sólido e às vezes sua casca. No que tange ao Teorema de Euler, o sólido é irrelevante e poliedro é um ente bidimensional, formado por vértices, arestas e faces. Euler verificou que essa relação é válida em vários casos especiais como poliedros convexos e alguns poliedros não convexos também, mas não apresentou uma demonstração com rigor matemático de que a fórmula é válida para todos os poliedros. (RICHESON, 2015). Desse modo, é possível a partir dos exemplos de poliedros convexos e não convexos mostrados na Fig. 10 testar a veracidade desta relação particular. Note que no exemplo mostrado na Fig. 10a (poliedro com V=8, A=12 e F=6) a característica de Euler do poliedro é igual a 2, o que o caracteriza como convexo. Já no exemplo da Fig. 10b (poliedro com V=12, A=17 e F=8), esta característica não é observada. Ressalta-se que, a recíproca da Relação de Euler não é verdadeira. Isso significa dizer que em alguns casos a relação numérica é válida, mas não é possível construir o poliedro com a quantidade de vértices (V), arestas (A) e faces (F) que satisfaz a relação. Por exemplo, dados três números, V=1, A=3 e F=4 a relação V – A + F = 2 é válida, mas o poliedro com essas características não existe. Além disso, muitas demonstrações sobre a aplicação do Teorema de Euler foram desenvolvidas com falhas devido a definição inicial de poliedro como comentado anteriormente. Segundo Richeson (2015) a primeira demonstração com rigor matemático foi dada em 1794, por Adrien-Marie Legendre. Contudo, Lima (1991) destacou que essa demonstração de Legendre com base na Geometria Esférica é válida apenas para poliedros convexos, assim como a demonstração de Azambuja em 1983. Dessa forma, como as demonstrações citadas partem do pressuposto que os poliedros são convexos, elas são limitadas tendo em vista que a Relação de Euler também é válida para poliedros não convexos, conforme ilustrado na Fig. 13. Dito isso, Dolce e Pompeo (1993) enunciaram que todo poliedro convexo é euleriano (Fig. 14a), ou seja, satisfaz a Relação de Euler, mas nem todo poliedro eureliano é convexo (Fig. 14b). Além disso, embora o Teorema de Euler tenha sido originalmente proposto para poliedros, ele pode ser estendido, por exemplo, para superfícies (CAMPOS, 2015). Nesse aspecto, a demonstração mais divulgada desse Teorema é devida a Augustin- Louis Cauchy, em 1813, que considerava a superfície convexa de um poliedro, pois diferentemente das demonstrações anteriores, nesta prova os poliedros são ocos e não sólidos, marcando o nascimento da teoria dos grafos e da topologia (LIMA, 1991; RICHESON, 2015). Figura 13. Ilustração de poliedros eulerianos não-convexos. Lima (1991) também ressaltou que Cauchy demonstrou o Teorema apenas para poliedros homeomorfos a esfera. Essa definição de homeomorfismo pode ser elucidada considerando que se um dado poliedro fosse feito de material plástico, ao ser inflado com ar continuamente, se o poliedro se transformar em uma esfera pode se dizer que esse poliedro é homeomorfo à esfera. Fazendo essa mesma suposição, os poliedros ilustrados na Fig. 14 são homeomorfos a esfera e o poliedro ilustrado na Fig. 13b é homeomorfo ao toro que tem o formato aproximado de uma câmara de pneu. O toro também pode ser definido como lugar geométrico tridimensional formado pela rotação de uma superfície circular plana de raio r, em torno de uma circunferência de raio R com R > r. Com isso, exemplifica-se que existem alguns poliedros que atendem ao Teorema de Euler, mas não são homeomorfos a esfera. Figura 14. Ilustração de um poliedro euleriano convexo (a) e um poliedro euleriano nãoconvexo (b). Diante do exposto, a busca de uma prova definitiva da validade do Teorema de Euler marca o início do período de transição da Geometria para a Topologia, pois apenas com o desenvolvimento dessa nova área da Matemática, Poincaré e outros matemáticos modernos conseguiram generalizar o Teorema que relacionava elementos de dimensão zero (vértices), elementos unidimensionais (arestas) e elementos bidimensionais (faces) para elementos de qualquer dimensão (RICHESON, 2015). Campos (2015, p. 20) também destacou que “a Topologia estuda propriedades das figuras geométricas que permanecem invariantes sob transformações topológicas ou homeomorfismos”. Nesse sentido, quando a relação de Euler é preservada por homeomorfismo em uma figura geométrica diz-se que é um invariante topológico da superfície. Lima (1991, p. 70) afirmou que “Poincaré foi o primeiro matemático a compreender o Teorema de Euler como um teorema de Topologia, e não de Geometria, ao notar que V – A + F é um invariante topológico do poliedro P”. Desse modo, denotando 𝑋(𝑃) um invariante topológico de P, o número dado pela expressão 𝑋(𝑃) = 𝑉 − 𝐴 + 𝐹 tornou-se conhecido como característica de Euler-Poincaré do poliedro P, que no caso dos poliedros convexos é igual a 2. 3.2 POLIEDROS DE PLATÃO E POLIEDROS REGULARES Na seção anterior foram apresentados os elementos geométricos primitivos, os polígonos convexos e não convexos, os polígonos regulares e suas nomenclaturas, os poliedros, seus elementos (faces, arestas e vértices) e suas nomenclaturas, os tipos convexos e não convexos, diagonais das faces, diagonais dos poliedros, ângulos poliédricos e o Teorema de Euler para possibilitar o estudo detalhado dos poliedros regulares, ilustrados na Fig. 15. Segundo DeHovitz (2016) os poliedros regulares teriam sido discutidos pela primeira vez por Platão, por volta de 360 a.C., que associou os poliedros regulares a cada um dos quatro elementos fundamentais da natureza e ao universo: o hexaedro foi associado à Terra, o tetraedro ao fogo, o octaedro ao ar, o dodecaedro ao universo e o icosaedro a água, como ilustrado na Fig. 16. Devido a essa primeira associação os poliedros regulares também são conhecidos como poliedros de Platão, poliedros platônicos ou sólidos platônicos, mas isso não significa que foram descobertos por Platão, como esclarece Boyer (1974, p. 63): Platão pôs suas ideias sobre sólidos regulares num diálogo intitulado Timaeus, presumivelmente do nome de um pitagórico, que serve como principal interlocutor. Não se sabe se Timaeus de Locri realmente existiu ou se Platão o inventou como um personagem através do qual enunciou as ideias pitagóricas que ainda eram influentes no que hoje é o sul da Itália. Os poliedros regulares frequentemente foram chamados “corpos cósmicos” ou “sólidos platônicos” devido à maneira pela qual Platão no Timaeus os aplicou à explicação de fenômenos científicos. Embora esse diálogo, escrito provavelmente quando Platão estava perto dos setenta anos, seja mais antiga evidência definida da associação dos quatro elementos com os sólidos regulares, muito dessa fantasia deve-se aos pitagóricos. Proclus atribui a construção das figuras cósmicas à Pitágoras; mas o escoliasta Scridas relatou que o amigo de Platão, Teaetetus, nascido em 414 a.C. aproximadamente e filho de um dos mais ricos patrícios da Ática foi o primeiro sobre eles. Um escólio (de data incerta) ao Livro XIII De Os elementos de Euclides afirma que somente três dos cinco sólidos regulares eram devidos aos pitagóricos e que foi através de Teaetetus que o octaedro e o icosaedro se tornaram conhecidos. Parece provável que, em qualquer caso, Teaetetus tenha feito um dos estudos mais extensos dos cinco sólidos regulares e a ele provavelmente se deve o teorema que diz que há cinco e somente cinco poliedros regulares. Talvez seja também o responsável pelos cálculos, que se encontram em Os elementos, das razões das arestas dos sólidos regulares para o raio da esfera circunscrita. Figura 15. Da esquerda para a direita, os poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Figura 16. Associação dos poliedros regulares proposta por Platão. Fonte: Adaptado de DeHovitz (2016). Nesse sentido, Richenson (2015, p. 53) destaca que “Apesar da discordância sobre quem teria sido o primeiro a descobrir cada um dos cinco sólidos regulares, não há dúvida de que Teeteto foi o primeiro a elevar o estudo dos sólidos a uma teoria completa e rigorosa”. Segundo Richenson (2015) Teeteto conseguia construir os cinco poliedros regulares geometricamente, compreendeu a regularidade como característica comum entre eles e provou que esses poliedros são os únicos poliedros regulares. Essas construções e demonstrações das provas apareceram mais tarde, por volta de 300 a. C., no livro XIII dos Elementos de Euclides. Além disso, Richeson (2015, p. 53) destaca que “muitos historiadores argumentam que toda a matemática contida nos livros X e XIII dos Elementos é devida a Teeteto”. Segundo Almeida (2015), as proposições de 13 a 17 do livro XIII dos Elementos de Euclides descrevem as construções dos poliedros regulares e Euclides calcula a razão entre o diâmetro da esfera circunscrita e o comprimento da aresta de cada poliedro. Na proposição 18, ele demonstra que não existem outros poliedros regulares. Em seguida, atribui-se a Arquimedes de Siracusa, que segundo Boyer (1974, p. 89) “provavelmente nasceu em 287 a. C.” a descoberta dos poliedros semirregulares. Boyer (1974, p. 89) afirma que: É certo que nem todas as obras de Arquimedes chegaram até nós, pois comentário de época posterior sabemos (por Papus) que Arquimedes descobriu todos os treze possíveis sólidos ditos semi-regulares. Ao passo que um poliedro regular tem faces que são polígonos regulares do mesmo tipo, um sólido semi-regular é um poliedro convexo cujas faces são polígonos regulares mas não todos do mesmo tipo. Existem ao todo 13 poliedros semirregulares também conhecidos como poliedros arquimedianos que são obtidos por meio de transformações sobre os 5 poliedros regulares. Por meio da operação de truncamento, que consiste em dividir as arestas do poliedro em partes iguais e construir nesses pontos novos vértices, obtêmse os seguintes poliedros semirregulares: tetraedro truncado, cuboctaedro, cubo truncado, octaedro truncado, rombicuboctaedro, cuboctaedro truncado, icosidodecaedro, dodecaedro truncado, icosaedro truncado, rombicosidodecaedro, icosidodecaedro truncado, ilustrados na Fig. 17. Figura 17. Poliedros semirregulares obtidos por truncaduras em poliedros regulares. Fonte: Mohr e Britto (2016). Por meio da operação de snubficação, que segundo Veloso (1998) apud Almeida (2010, p. 127) é uma “operação que consiste em afastar todas as faces do poliedro, rodar as mesmas um certo ângulo (normalmente 45º) e preencher os vazios resultantes com polígonos”, obtêm-se os seguintes poliedros semirregulares: cubo snub e dodecaedro snub, ilustrados na Fig. 18. Figura 18. Poliedros semirregulares obtidos por snubficação em poliedros regulares. Fonte: Mohr e Britto (2016). No século VI d.C., segundo Correia e Ferreira (2007, p. 4) Pappus da Alexandria analisou a projeção dos poliedros regulares na superfície esférica e, Isodoro de Mileto, demonstrou que o número de faces de um poliedro regular é igual ao número de vértices do seu dual, estabelecendo assim o princípio da dualidade entre eles. Além disso, sabendo que o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos das faces de um poliedro regular (incentro) é o ponto central de cada uma das faces, os vértices do poliedro dual inscrito estão localizados no ponto central de cada uma das faces do poliedro dual circunscrito como ilustrado na Fig. 19. Sendo assim, o tetraedro é autodual, o hexaedro e octaedro são duais, e, o dodecaedro e icosaedro são duais. Figura 19. Poliedros regulares e seus duais. Luca Pacioli no seu livro De Divina Proportione, publicado em 1509, trata da razão áurea denominada como Divina Proporção. Segundo Bertato (2008), a obra De Divina Proportione contém um sumário das proposições dos Elementos de Euclides relacionados com a razão áurea, um estudo das propriedades dos poliedros regulares e a descrição de vários poliedros, como cinco poliedros semirregulares. As descrições são acompanhadas de enumeração correspondente às ilustrações feitas por Leonardo Da Vinci e são encontradas na parte final do livro, como apresentado na Fig. 20 e na Fig. 21. Figura 20. Poliedros regulares desenhados por Leonardo Da Vinci. Fonte: Bertato (2008). Figura 21. Alguns poliedros semirregulares desenhados por Leonardo Da Vinci. Fonte: Bertato (2008). Segundo Bertato (2008), Pacioli recomendava ao leitor de sua obra o uso dos Elementos de Euclides como “guia indispensável” e apresentava as demonstrações de Euclides de que não pode haver mais do que cinco poliedros regulares e de como construir cada um desses poliedros inscritos em uma esfera. Além disso, Pacioli também apresentou detalhes sobre as inscrições de poliedros regulares uns nos outros e demonstrou que todos os demais poliedros regulares podem ser inscritos no dodecaedro. Em 1525, segundo Correia e Ferreira (2007, p. 4), “Albretch Dürer planificou os poliedros regulares e utilizou a projeção ortogonal para representá-los, projetando-os segundo os seus eixos de simetria”. De acordo com DeHovitz (2016), de modo semelhante a Platão o astrônomo alemão Johannes Kepler também fez associações entre os poliedros regulares e o mundo natural. No modelo publicado em 1596, como ilustrado na Fig. 22, no seu livro de astronomia, Mysterium Cosmographicum, a órbita de cada planeta em torno do Sol era associada a uma esfera, sendo que a esfera mais externa representava a órbita de Saturno. Figura 22. Modelo de Kepler do sistema solar (a) e esfera inscrita no tetraedro regular do modelo de Kepler do sistema solar (b). Fonte: Dehovitz (2016); Jreige (2015). Já que nessa época eram conhecidos apenas cinco planetas (Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno) além da Terra, as esferas concêntricas das órbitas dos planetas circunscreviam e inscreviam cada um dos cinco poliedros regulares inseridos por Kepler da seguinte forma: entre Saturno e Júpiter, um hexaedro; entre Júpiter e Marte, um tetraedro (Fig. 22a); entre Marte e Terra, um dodecaedro; entre Terra e Vênus, um icosaedro e, por fim, entre Vênus e Mercúrio um octaedro (Fig. 22b). 3.2.1 Diferenças conceituais entre poliedros regulares e poliedros de Platão A história da descoberta, geometria e aplicações dos poliedros regulares é muito rica, mas a fim de evitar confusão sobre a nomenclatura dada a esses poliedros, tendo em vista que na literatura encontra-se muitas referências aos poliedros de Platão, poliedros platônicos ou sólidos platônicos como sinônimo de poliedros regulares, discute-se a seguir as definições e demonstrações matemáticas para poliedros de Platão e poliedros regulares. Dolce e Pompeo (1993, p. 130) afirmaram que “existem cinco, e somente cinco, classes de poliedros de Platão”. Os mesmos autores também afirmaram que um poliedro é poliedro de Platão se, e somente se, todas as faces têm o mesmo número de arestas, todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas e a relação de Euler é válida. Dessa forma, observa-se que essa definição dos poliedros de Platão não determina que todas as faces sejam iguais. Portanto, existem poliedros de Platão em que suas faces são formadas por polígonos regulares (Fig. 23a) e poliedros de Platão em que suas faces são formadas por polígonos regulares irregulares. (Fig. 23b). Por outro lado, Dolce e Pompeo (1993, p. 132) definiram os poliedros regulares como aqueles nos quais “a) suas faces são polígonos regulares e congruentes; b) seus ângulos poliédricos são congruentes”. Nesse sentido, a pesquisa de Radin (2018) observou a distinção entre poliedros regulares e poliedros de Platão. O autor exemplificou que ao reduzir a altura de um octaedro regular, os triângulos das faces do poliedro passarão a ser isósceles, contudo, o octaedro com altura reduzida não é regular, mas continua sendo um poliedro platônico. Mohr e Jelinek (2020) também ressaltaram que os poliedros de Platão não são apenas os cinco tipos de poliedros regulares tendo em vista que, por exemplo um prisma reto de base quadrada satisfaz a todas as condições apresentadas, sendo, portanto, um poliedro de Platão. Porém, se todas as suas faces não forem quadradas, ele não pode ser considerado um poliedro regular. Figura 23. Acima os poliedros de Platão formados por polígonos regulares. Abaixo alguns poliedros de Platão que não são formados por polígonos regulares. Diante disso, Dolce e Pompeo (1993, p. 133) observaram que “todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é regular”. De maneira equivalente, pode-se dizer que o conjunto dos poliedros regulares é um subconjunto dos poliedros de Platão. Como poliedros de Platão são poliedros convexos nos quais todas as faces do poliedro são delimitadas por polígonos que tem a mesma quantidade de lados, regulares ou não, a notação utilizada para associar a classe de cada poliedro de Platão é dada por (p, q). Nessa notação, p representa o número de arestas de cada face, ou seja, número de lados dos polígonos que delimitam as faces dos poliedros, e q representa o número de arestas que concorre em cada vértice (DEHOVITZ, 2016). Utilizando a notação apresentada, DeHovitz (2016), Dolce e Pompeo (1993) aplicaram o Teorema de Euler para demonstrar que “existem cinco, e somente cinco, classes de poliedros de Platão” conforme segue. Inicialmente, sabendo que no Teorema de Euler A representa o número total de arestas do poliedro, F representa o número de faces do poliedro e V representa o número de vértices ou ângulos poliédricos, p representa o número de arestas de cada face e q representa o número de arestas que concorre em cada vértice, cada uma das F faces do poliedro de Platão tem p arestas (p ≥ 3), e como cada aresta está em duas faces: 2𝐴 𝑝𝐹 = 2𝐴 ⇒ 𝐹 = 𝑝 Eq. 1 Cada um dos V vértices do poliedro ou ângulos poliédricos tem q arestas (q ≥ 3), número de arestas que concorrem em um vértice, e como cada aresta contém dois vértices: 2𝐴 𝑞𝑉 = 2𝐴 ⇒ 𝑉 = 𝑞 Eq. 2 Substituindo as Equações 1 e 2 na relação de Euler e depois dividindo por 2A: 2𝐴 2𝐴 1 1 1 1 −𝐴+ 𝑝 =2⇒ 𝑞− 2+ 𝑝= 𝐴 Eq. 3 𝑞 Sabe-se que p ≥ 3 e q ≥ 3. Contudo, se p e q fossem simultaneamente maiores que 3 teríamos: 𝑞 > 3 ⇒ 𝑞 ≥ 4 ⇒ 𝑞≤4 1 1 1 1 1 1 }⇒ + 𝑝 ≤ 2 ⇒ 𝑞− 2+ 𝑝 ≤0 Eq. 4 𝑝 > 3 ⇒ 𝑝 ≥ 4 ⇒ 𝑝≤4 O que contraria a igualdade (Eq. 3), pois A é um número positivo. Conclui-se então que, nos poliedros de Platão, q = 3 ou p = 3. Isto significa que um poliedro de Platão possui, obrigatoriamente, ângulo triédrico ou triângulo: I. Para q = 3 (supondo ângulo triédrico ou 3 arestas concorrem em um vértice). Substituindo na Equação 3: − = ⇒ > ⇒𝑝 <6 𝑝 6 𝐴 𝑝 6 Então, como p representa o número de arestas de cada face, para p = 3 têmse face triangular, p = 4 têm-se face quadrada e p = 5 têm-se face pentagonal. II. Para p = 3 (supondo que as faces são triangulares). Substituindo na Equação 3: − 6 = 𝐴 ⇒ 𝑞 > 6 ⇒q < 6 𝑞 Dessa forma, para q = 3 têm-se ângulos triédricos (3 arestas concorrem em um vértice), para q = 4 têm-se ângulos tetraédricos (4 arestas concorrem em um vértice) e para q = 5 têm-se ângulos pentaédricos (5 arestas concorrem em um vértice). Com os resultados encontrados em I e II a partir das definições de p e q, conclui-se que os poliedros de Platão são determinados pelos pares (p, q): (3,3), (4,3), (3,4), (5,3) e (3,5) sendo, portanto, cinco, e somente cinco, as classes de poliedros de Platão. Dolce e Pompeo (1993) e DeHovitz (2016) também apresentaram como consequência dessa demonstração a possibilidade de calcular a quantidade de faces de cada um desses poliedros apenas substituindo os valores de p e q na Equação 3, e utilizando as Equações 1 e 2 em seguida. Observou-se também que conhecidos os números de faces dos poliedros pode-se nomear os poliedros de Platão, conforme detalhado na Tab. 3. Além disso, como já visto anteriormente (Seção 2.2), o tetraedro é autodual, o hexaedro é dual do octaedro e o dodecaedro é dual do icosaedro. Na Tab. 3 é possível notar que o número de faces de um poliedro é igual ao número de vértices do seu dual. Tabela 3 – Nomes dos poliedros de Platão. p q (Número (Número de V A F (Faces de arestas que (Vértices (Arestas Nome do do V–A+F arestas concorrem do do poliedro poliedro) de cada em um poliedro) poliedro) face) vértice) Considerando agora os poliedros de Platão regulares, ou seja, os poliedros convexos em que todas as suas faces são polígonos regulares (iguais ou congruentes entre si) e em todos os vértices concorrem (partem) o mesmo número de arestas, segundo Dolce e Pompeo (1993, p. 133) “existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros regulares”. Demonstrações geométricas dessa afirmação também foram discutidas nos trabalhos de Costa, Santos e Souza (2018), Jelinek, Mohr e Silva (2020) e Melo e Rheinheimer (2015). Segundo Richeson (2015, p. 21) “parte do mistério que envolve estes cinco poliedros reside em serem poucos - nenhum outro poliedro, para além destes cinco, satisfaz os rigorosos requisitos de regularidade”. Sendo assim, considerando que a medida de um ângulo interno de um polígono 𝑝−2 regular de p lados é dada por 180 ( 𝑝 ), se o poliedro tiver q arestas que concorrem em um vértice, a soma das medidas dos ângulos em torno de cada vértice será dada 𝑝−2 por 𝑞 [180° ( 𝑝 ) ]. Além disso, de acordo com Mohr e Prado (2014, p. 6) no Livro XI de Os Elementos de Euclides, a proposição 21 diz que “a soma dos ângulos dos polígonos em volta de cada vértice de um poliedro é sempre menor do que 360°”. Verifica-se que se a soma dos ângulos dos polígonos em volta de cada vértice for igual a 360° todas essas faces estariam em um mesmo plano, criando uma superfície plana e não uma figura espacial. DeHovitz (2016) observou também que se a soma dos ângulos for maior que 360°, algum plano delimitador entrará necessariamente no interior do sólido e, portanto, não será um poliedro convexo. Observando essas definições e propriedades, considerando o caso em que as faces de um poliedro regular são triângulos equiláteros (p = 3), então cada ângulo 3−2 interno mede 180 ( 3 ) = 60°. As possibilidades para construção de um poliedro com 𝑝−2 𝑞 [180° ( 𝑝 ) ] < 360°, ou seja 𝑞 < 6, portanto, q = 3, q = 4 ou q = 5, são ilustradas na Fig. 24. Dessa forma, seja q o número de arestas que concorre em cada vértice, para q = 3 têm-se tetraedro, para q = 4 têm-se octaedro e para q = 5 têm-se icosaedro. Da mesma forma, considerando o caso em que as faces de um poliedro regular 4−2 são quadradas (ou seja, p = 4), então cada ângulo interno mede 180 ( 4 ) = 90°. A 𝑝−2 possibilidade para construção de um poliedro com 𝑞 [180° ( 𝑝 ) ] < 360°, ou seja 𝑞 < 4, portanto, q = 3 é ilustrada na Fig. 25. Dessa forma, seja q o número de arestas que concorre em cada vértice, para q = 3 têm-se hexaedro. Figura 24. Poliedros regulares formados com triângulos equiláteros: tetraedro regular (a), octaedro regular (b) e icosaedro regular (c). Figura 25. Poliedro regular formado com quadrados: faces (a) e hexaedro regular (b). Dando continuidade, considerando o caso em que as faces de um poliedro regular são pentágonos regulares e como p representa o número de arestas de cada 5−2 face, p = 5, então cada ângulo interno mede 180 ( 5 ) = 108°, a possibilidade para 𝑝−2 360 construção de um poliedro com 𝑞 [180° ( 𝑝 ) ] < 360°, ou seja 𝑞 < 108, portanto, q = cada vértice, para q = 3 têm-se dodecaedro. Figura 26. Poliedro regular formado com pentágonos regulares: faces (a) e dodecaedro regular (b). Com base no exposto, a Fig. 27 sintetiza a formação dos vértices dos poliedros regulares observando a soma dos ângulos dos polígonos regulares em torno de cada vértice. Por fim, considerando o caso em que as faces de um poliedro regular são hexágonos regulares, p representa o número de arestas de cada face, p = 6, então 6−2 cada ângulo interno mede 180 ( 6 ) = 120°, a única possibilidade para construção de 𝑝−2 um poliedro com 𝑞 [180° ( 𝑝 ) ] < 360°, ou seja 𝑞 < 3, portanto, q = 2. Entretanto, como q representa o número de arestas que concorre em cada vértice e o número de arestas que concorrem em um vértice deverá ser pelo menos 3 (q ≥ 3), e com q = 3 a soma dos ângulos internos é igual a 360°, não é possível construir um poliedro regular com polígonos regulares de 6 faces. (Fig. 28). Dessa forma, não é possível construir poliedros com faces limitadas por polígonos regulares com p > 5, de modo que as possibilidades apresentadas para p = 3 (triângulos equiláteros), p = 4 (quadrados) e p = 5 (pentágonos regulares) foram sintetizadas na Tab. 4. Figura 27. Polígonos regulares formando os vértices dos poliedros regulares. Fonte: Richeson (2015). Figura 28. Hexágonos regulares formando uma figura plana. De forma complementar, apresenta-se uma demonstração analítica da existência de apenas 5 tipos de poliedros regulares (BALESTRI, 2016; DANTE, 2000; DEHOVITZ, 2016; DOLCE e POMPEO,1993; LIMA et al., 2004, RICHESON, 2015). Destaca-se também que, como p representa o número de arestas de cada face, p > 2, já que todo polígono deve ter pelo menos 3 lados, e como q representa o número de arestas que concorrem em um vértice, q > 2, pois são necessárias pelo menos 3 arestas que concorrem em um vértice de um poliedro, têm-se: 𝑝−2 𝑞 [180° ( ) ] < 360° 𝑝 𝑝−2 𝑞( )<2 𝑝 𝑞𝑝 − 2𝑞 − 2 𝑝 < 0 𝑞𝑝 − 2 − 2 𝑞 + 4 < 4 (𝒑 − 𝟐)(𝒒 − 𝟐) < 𝟒 Eq. 5 Tabela 4 – Possibilidades para construção de poliedros regulares. Soma dos Medida dos Quantidade de ângulos Ângulos arestas que Polígonos internos em internos dos concorrem em Poliedro Representação do regulares torno de cada polígonos um vértice do regular poliedro regular das faces vértice do regulares das Poliedro poliedro faces Regular regular Triângulos Tetraedro 60° 3 180° equiláteros Regular Triângulos Octaedro 60° 4 240º equiláteros Regular Triângulos Icosaedro 60° 5 300° equiláteros Regular Triângulos 60° 6 360º Não existe - equiláteros Hexaedro Quadrados 90° 3 270° Regular Quadrados 90° 4 360º Não existe - Pentágonos Dodecaedro 108° 3 324° regulares Regular Pentágonos 108° 4 432° Não existe - regulares Hexágonos 120° 3 360° Não existe - regulares Entretanto, caso tivéssemos, por exemplo, p = 4 e q = 4, substituindo em (Eq. 5, q = 4, substituindo em (5) têm-se (p − 2) (q − 2) > 4 que também não atende à Equação 5. Sendo assim, Dante (2000) e DeHovitz (2016) mostraram que para p > 2 e q > 2, as únicas possibilidades que satisfazem (Eq. 5) são apresentadas na Tabela 5. Tabela 5 – Possibilidades para número de lados (p) e arestas que concorrem em cada vértice (q) em um poliedro regular. p q p–2 q–2 (p – 2) (q – 2) Nome do poliedro 3.2.2 Diagonais dos poliedros regulares Assim como nos demais poliedros convexos, o segmento de reta que une dois vértices que não pertencem a uma mesma face é denominado diagonal do poliedro regular como ilustrado na Fig. 29. O tetraedro regular não possui diagonais, pois todos os segmentos de reta que unem dois vértices são arestas desse poliedro, ou seja, pertencem a duas de suas faces. Na Fig. 29 as diagonais são representadas pelos segmentos de reta (linhas na cor preta): as três diagonais do octaedro regular, as quatro diagonais do hexaedro regular, assim como são exemplificadas algumas das diagonais do dodecaedro regular e icosaedro regular. Para calcular a quantidade de diagonais em cada poliedro regular considerando 𝐴𝐵 é igual ao segmento ̅̅̅̅ dois vértices distintos A e B (o segmento ̅̅̅̅ 𝐵𝐴, já que a ordem dos elementos não altera o resultado), o número total de segmentos de reta que podem ser construídos a partir da união de dois vértices quaisquer do poliedro regular é dado pela combinação simples do número de vértices do poliedro regular, tomados chamados de arestas do poliedro regular (ou lados dos polígonos das faces) e as diagonais das faces do poliedro regular. Portanto, seja V o número de vértices do poliedro regular, A o número de arestas, F o número de faces e S o número de diagonais das faces, o número de diagonais do poliedro regular (D) é: 𝐷 = 𝐶𝑉,2 − 𝐴 − 𝐹𝑆 Eq. 6 Mantendo a notação adotada anteriormente para identificar o poliedro como (p,q), onde p representa o número de arestas de cada face e q é o número de arestas que concorrem em um vértice, p também pode representar o número de lados do polígono regular, já que se referem ao mesmo elemento com denominações diferentes para polígonos e poliedros. Sendo assim, o número de diagonais de cada uma das faces (S) do poliedro regular é: 𝑝 (𝑝−3) 𝑆= Eq. 7 Fazendo os cálculos com base nos dados de cada poliedro regular, obtemos o número de diagonais em cada poliedro regular, ressaltando-se, contudo, que o tetraedro regular não possui diagonais, conforme mostrado na Tab. 6. Figura 29. Algumas diagonais dos poliedros regulares. Tabela 6 – Quantidade de diagonais em um poliedro regular. p (número F A V S Diagonais do Poliedro de (Faces (Arestas (Vértices CV,2 (Diagonais poliedro regular regular arestas do do do das faces) 𝐶𝑉2 − 𝐴 − 𝐹𝑆 de cada poliedro) poliedro) poliedro) face) Tetraedro 3 4 6 4 6 0 6 – 6 - 4x0 = 0 Hexaedro 4 6 12 8 28 2 28 – 12 - 6x2 = 4 Octaedro 3 8 12 6 15 0 15 - 12 - 8x0 = 3 Dodecaedro 5 12 30 20 190 5 190 – 30 - 12x5 = 100 Icosaedro 3 20 30 12 66 0 66 - 30 - 20x0 = 36 3.2.3 Poliedros regulares inscritos e circunscritos na esfera Assim como os polígonos regulares podem ser inscritos e circunscritos em uma circunferência, os poliedros regulares também podem ser inscritos em uma esfera, (Fig. 30), e circunscritos a uma esfera (Fig. 31). Ressalta-se ainda que quando o poliedro regular é inscrito na esfera pode-se dizer também que a esfera é circunscrita ao poliedro regular. Analogamente, quando o poliedro regular é circunscrito à esfera pode-se dizer que a esfera é inscrita no poliedro regular. Figura 30. Poliedros regulares inscritos em uma esfera. Figura 31. Poliedros regulares circunscritos a uma esfera. A Fig. 30 permite observar que a distância do centro da esfera circunscrita aos vértices de cada um dos poliedros regulares equivale ao raio dessa esfera. No caso da esfera inscrita nos poliedros regulares (Fig. 31), a distância do centro da esfera inscrita a cada uma das faces dos poliedros regulares equivale ao raio dessa esfera. Na Fig. 32 observa-se também que o centro da esfera circunscrita e o centro da esfera inscrita correspondem ao mesmo ponto. Figura 32. Poliedros regulares circunscritos a uma esfera e inscritos em outra esfera. Dessa forma, é possível estabelecer uma relação entre o comprimento das arestas, área de superfície e volume dos poliedros regulares em função do raio da esfera circunscrita aos poliedros regulares, denotado por R, e em função do raio da esfera inscrita nos poliedros regulares, denotado por r. Além disso, como os cinco poliedros regulares serão inscritos em uma esfera de raio R e serão circunscritos a uma esfera de raio r, para evitar o entendimento de que as arestas de cada poliedro regular teriam o mesmo comprimento (𝑙), o que seria um equívoco, o comprimento das arestas será nomeado de forma distinta para cada poliedro regular, a saber: 𝑙 𝑇 para o tetraedro, 𝑙𝐻 para o hexaedro, 𝑙𝑂 para o octaedro, 𝑙𝐷 para o dodecaedro e 𝑙𝐼 para o icosaedro. Na Fig. 33a o triângulo APC é retângulo, pois o segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝑃 é a altura do tetraedro regular (ℎ𝑇 ) referente à base BCD. Usando o teorema de Pitágoras pode-se ̅̅̅̅ 2 + ̅̅̅̅ 2 = 𝐴𝑃 calcular o valor da altura do tetraedro em função da aresta do tetraedro: 𝐴𝐶 𝑙 √3 𝑙 √6 𝑃𝐶 2 , ou seja, 𝑙 𝑇 2 = ℎ𝑇 2 + ( 𝑇3 ) . Então, ℎ𝑇 = 𝑇3 . ̅̅̅̅ 𝐴𝑃 = ̅̅̅̅ Por outro lado ̅̅̅̅ 𝑂𝑃. Dessa forma, o segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝑂 + ̅̅̅̅ 𝐴𝑃, que é a altura do tetraedro regular (ℎ𝑇 ) referente à base BCD, é igual a soma do raio da esfera ̅̅̅̅ = r), ou seja, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = R) com o raio da esfera inscrita (𝑂𝑃 circunscrita (𝐴𝑂 𝐴𝑃 = 𝑅 + 𝑟 (Fig. 33b). Figura 33. Altura (AP) do tetraedro regular (a) e relação entre altura (AP) do tetraedro e raio da esfera circunscrita (AO) e raio da esfera inscrita (OP) (b). Além disso, sabendo que em um tetraedro regular as faces são triângulos equiláteros cujos lados têm comprimento 𝑙 𝑇 , e que nesses polígonos a altura, bissetriz e mediana são coincidentes, o comprimento do segmento ̅̅̅̅̅ 𝐷𝑀 corresponde à altura 𝑙 √3 𝐷𝑀 = 𝑇2 . Como ̅̅̅̅̅ do triângulo BCD, como ilustrado na Fig. 34a, é dado por ̅̅̅̅̅ 𝐷𝑀 também é mediana e P é o baricentro (ponto de encontro das medianas) do triângulo ̅̅̅̅̅, donde segue que 𝑃𝑀 ̅̅̅̅̅ = 𝐷𝑀 BCD, 𝑃𝑀 ̅̅̅̅̅ = . Da mesma forma, o ponto S é o 𝐴𝑆 = 3 ̅̅̅̅̅ baricentro triângulo ABC (Fig. 34b), então ̅̅̅̅ 𝐴𝑀, donde segue que ̅̅̅̅ 𝐴𝑆 = 𝑇3 . Figura 34. Baricentros dos triângulos equiláteros BCD (a) e ABC (b). Como os triângulos retângulos APM e ASO (Fig. 35) são semelhantes (caso 𝑙𝑇 √6 𝑙𝑇 √3 ̅̅̅̅ 𝐴𝑃 ̅̅̅̅ 𝐴𝑆 𝑙 √6 AA), 𝑃𝑀 ̅̅̅̅̅ = 𝑂𝑆 ̅̅̅̅ . Fazendo as substituições, 𝑙 √3 = 𝑟.3 , têm-se que 𝑟 = 𝑇12 . Isolando 𝑙 𝑇 𝑇 obtêm-se a relação entre o comprimento da aresta do tetraedro regular e o raio da esfera inscrita nesse poliedro, portanto, 𝒍𝑻 = 𝟐𝒓√𝟔. 𝑙 √6 𝑙 √6 𝑙 √6 Como ℎ𝑇 = 𝑅 + 𝑟 e ℎ𝑇 = 𝑇3 , têm-se que 𝑇3 = 𝑅 + 𝑇12 . Isolando 𝑙 𝑇 obtêm-se a relação entre o comprimento da aresta do tetraedro regular e o raio da esfera 𝟐𝐑√𝟔 circunscrita a esse poliedro, portanto, 𝒍𝑻 = . 𝟑 Em um hexaedro regular cujo comprimento de aresta é 𝑙𝐻 inscrito em uma circunferência de raio R, como ilustrado na Fig. 36a, o triângulo CAE é retângulo em 𝐶𝐸 = 2𝑅, ̅̅̅̅ A. Sabendo que ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 = 𝑙𝐻 e ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 = 𝑙𝐻 √2 aplicando o teorema de Pitágoras ̅̅̅̅ 2 = ̅̅̅̅ tem-se que 𝐶𝐸 ̅̅̅̅ 2 . Fazendo as devidas substituições e isolando 𝑙𝐻 obtêm- 𝐴𝐸 2 + 𝐴𝐶 se a relação entre o comprimento da aresta do hexaedro regular e o raio da esfera 𝟐𝐑√𝟑 circunscrita a esse poliedro, portanto, 𝒍𝑯 = . 𝟑 Figura 35. Semelhança entre os triângulos APM E ASO. Por outro lado, na Fig. 31 pode-se observar que o comprimento da aresta do hexaedro corresponde ao diâmetro da esfera inscrita nesse poliedro, então têm-se que 𝒍𝑯 = 𝟐𝒓. Os quatro vértices centrais do octaedro formam um quadrado inscrito em uma circunferência de raio R, de modo que o comprimento das diagonais desse quadrado é igual 2R (Fig. 36b). Sabendo que a diagonal de um quadrado de lado 𝑙𝑂 é 𝑙𝑂 √2. Sendo assim, 𝑙𝑂 √2 = 2𝑅 então, 𝒍𝑶 = 𝐑√𝟐. Na Fig. 36c pode-se relacionar o raio da esfera circunscrita (R), o raio da esfera inscrita (r) ao octaedro e o segmento ̅̅̅̅ 𝑁𝐸 . Como ponto N é o baricentro dessa face 𝑙𝑂 √3 triangular do octaedro regular, então ̅̅̅̅ 𝑁𝐸 = . Aplicando o Teorema de Pitágoras já que o triângulo ONE é retângulo em N (Fig. 36d), têm-se 𝑅 2 = ̅̅̅̅ 𝑁𝐸 2 + 𝑟 2 . Como 𝒍𝑶 √𝟐 demonstrado anteriormente, 𝒍𝑶 = 𝐑√𝟐 então 𝐑 = Fazendo as devidas 𝟐 𝒍 √𝟐 𝑙 √3 substituições têm-se que ( 𝑶𝟐 ) = ( 𝑂3 ) + 𝑟 2 , então 𝒍𝑶 = 𝒓√𝟔. Sabendo que é possível inscrever um hexaedro regular em um dodecaedro regular, como ilustrado na Fig. 36e. Analogamente como demonstrado anteriormente para o hexaedro, cujo comprimento de aresta é 𝑙𝐻 , o comprimento da sua diagonal é igual a 𝑙𝐻 √3. Como o hexaedro está inscrito na esfera de raio R, as suas diagonais 𝟐𝐑√𝟑 têm comprimento igual a 2R. Sendo assim, 𝑙𝐻 √3 = 2𝑅 então, 𝒍𝑯 = . 𝟑 Observa-se que o comprimento da aresta desse hexaedro (𝑙𝐻 ) é igual ao comprimento da diagonal do pentágono regular, denominada por d, como ilustrado na Fig. 36f. Figura 36. Aresta do hexaedro regular em relação ao raio da esfera circunscrita (a), aresta do octaedro regular em relação ao raio da esfera circunscrita (b), aresta do octaedro regular em relação ao raio da esfera inscrita (c), triângulo retângulo ONE (d), hexaedro regular inscrito em um dodecaedro regular (d) e diagonal de um pentágono regular (e). (d) (e) (f) 1+√5 Sabendo que razão entre a diagonal e o lado do pentágono regular é ɸ= , seja 𝑙𝐷 o comprimento da aresta do dodecaedro regular (igual ao comprimento da aresta da face, que é um pentágono regular), pode-se dizer que a diagonal do 1+√5 1+√5 pentágono, denominada por d, é dada por 𝑑 = 𝑙𝐷 ( 2 ). Como 𝑑 = 𝑙𝐻 , 𝑙𝐻 = 𝑙𝐷 ( 2 ). 2R√3 1+√5 Por outro lado, como 𝑙𝐻 = , igualando as duas expressões, tem-se que 𝑙𝐷 ( 2 ) = 2R√3 . Isolando 𝑙𝐷 obtêm-se a relação entre o comprimento da aresta do dodecaedro 𝐑(√𝟏𝟓−√𝟑) regular e o raio da esfera circunscrita a esse poliedro, portanto, 𝒍𝑫 = . 𝟑 Pode-se calcular o raio da circunferência circunscrita (𝑥) ao pentágono regular em relação ao lado do pentágono regular que é igual comprimento da aresta do dodecaedro regular (𝑙𝐷 ), como ilustrado na Fig. 37a. Na Fig. 37b observa-se também que o ângulo DÂB = 36º. Sabendo que sen 36° = √10 − 2√5 , usando o seno do ângulo DÂB e aplicando a relação (𝑙/2) 2𝑙𝐷 trigonométrica sen DÂB = , têm-se que 𝑥 = . 𝑅 √10−2√5 Figura 37. Circunferência circunscrita ao pentágono regular (a) e ângulo DÂB (b). Por outro lado, para o cálculo do raio da esfera inscrita (𝑟) ao dodecaedro regular, sabendo que o triângulo OAB é retângulo em A, como ilustrado na Fig. 38, pode-se aplicar o teorema de Pitágoras, 𝑅 2 = 𝑟 2 + 𝑥 2 . R(√15−√3) Como demonstrado anteriormente, 𝑙𝐷 = , então o raio da esfera 𝑙 (√3+√15) circunscrita (R) ao dodecaedro regular é dado por 𝑅 = 𝐷 . Fazendo as devidas 𝑙 (√3+√15) 2𝑙𝐷 substituições e operações matemáticas, ( 𝐷 ) = (𝑟)2 + ( ) , então 𝒓 = 𝑙𝐷 √𝟐𝟓𝟎+𝟏𝟏𝟎√𝟓 . Isolando 𝑙𝐷 obtêm-se a relação entre o comprimento da aresta do 𝟐𝟎 dodecaedro regular e o raio da esfera inscrita nesse poliedro, portanto, 𝒓√𝟐𝟓𝟎−𝟏𝟏𝟎√𝟓 𝒍𝑫 = . 𝟏𝟎𝟎 Figura 38. Relação entre raio da circunferência circunscrita (x) ao pentágono regular, raio da esfera circunscrita (R) ao dodecaedro regular e raio da esfera inscrita (r) ao dodecaedro regular. Sabendo que ao seccionar o icosaedro regular com um plano que contenha 5 de seus vértices obtêm-se um pentágono regular cujo comprimento do lado é igual ao comprimento da aresta do icosaedro (𝑙𝐼 ), como ilustrado na Fig. 39a. 1+√5 A diagonal desse pentágono (𝑑) tem comprimento igual a 𝑑 = 𝑙𝐼 ( 2 ). ̅̅̅̅ = 2𝑅, e como ̅̅̅̅ Observando o triângulo AEK ilustrado na Fig. 39b, 𝐴𝐾 𝐴𝐸 é perpendicular a ̅̅̅̅ 𝐸𝐾 , o triângulo AEK é retângulo em E. Aplicando o teorema de 1+√5 𝑹√𝟓𝟎−𝟏𝟎√𝟓 Pitágoras, (2𝑅)2 2 = (𝑙𝐼 ) + (𝑙𝐼 ( 2 )) . Então, 𝒍𝑰 = . 𝟓 Para o cálculo do raio da esfera inscrita (𝑟) ao icosaedro regular (Fig. 40a), sabendo que o triângulo OPA é retângulo em P, como ilustrado na Fig. 40b, pode-se ̅̅̅̅2 . aplicar o teorema de Pitágoras, 𝑅 2 = 𝑟 2 + 𝐴𝑃 𝑅 √50−10√5 Como demonstrado anteriormente, 𝑙𝐼 = , então o raio da esfera 𝑙 √10+2√5 circunscrita (R) ao icosaedro regular é dado por 𝑅 = 𝐼 . Além disso, sabendo que em um icosaedro regular as faces são triângulos equiláteros cujos lados têm comprimento 𝑙𝐼 , e que nesses polígonos a altura, bissetriz e mediana são coincidentes, o comprimento do segmento ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑀 correspondente à altura do triângulo ABC, como 𝑙𝐼 √3 ̅̅̅̅̅ = ilustrado na Fig. 40c, é dado por 𝐴𝑀 ̅̅̅̅̅ também é mediana e P é o . Como 𝐴𝑀 ̅̅̅̅̅, donde ̅̅̅̅ = 𝐴𝑀 baricentro (ponto de encontro das medianas) do triângulo ABC, 𝐴𝑃 3 𝑙 √3 segue que ̅̅̅̅ 𝐴𝑃 = 𝐼3 . Figura 39. Seção em um icosaedro regular (a) e triângulo AEK. (b). Figura 40. Raio da esfera inscrita ao icosaedro regular (a), baricentro do triângulo equilátero ABC (b) e Relação entre segmento (AP) do triângulo equilátero, raio da esfera circunscrita (R) e raio da esfera inscrita (r) ao dodecaedro regular (c). Fazendo as devidas substituições e operações matemáticas, 𝑙 √10+2√5 𝑙 √3 𝑙𝐼 √42+18√5 (𝐼 ) = (𝑟)2 + ( 𝐼 ) , então 𝑟 = . Além disso, sejam A e B números racionais positivos e diferentes de zero (A, B Є Q∗+ ), A2 > B, A2 – B não é um quadrado 𝐴+√𝐴2 −𝐵 𝐴−√𝐴2 −𝐵 perfeito e B não é quadrado perfeito, sabe-se que √𝐴 ± √𝐵 = √ ±√ , 𝒍𝑰 (𝟑√𝟑+ √𝟏𝟓) então √42 + 18√5 = 3√3 + √15 e 𝒓 = . Isolando 𝑙𝐼 obtêm-se a relação 𝟏𝟐 entre o comprimento da aresta do icosaedro regular e o raio da esfera inscrita nesse poliedro, portanto, 𝒍𝑰 = 𝒓(𝟑√𝟑 − √𝟏𝟓). A Tab. 7 apresenta o comprimento das arestas dos poliedros regulares em função do raio da esfera circunscrita (R) e do raio da esfera inscrita (r). Tabela 7 – Comprimento das arestas dos poliedros regulares em função do raio da esfera circunscrita e do raio da esfera inscrita. Comprimento da Poliedro Comprimento Comprimento da aresta em função regular da aresta aresta em função de r de R 2R√6 Tetraedro 𝑙𝑇 𝑙𝑇 = 𝑙 𝑇 = 2𝑟√6 2R√3 Hexaedro 𝑙𝐻 𝑙𝐻 = 𝑙𝐻 = 2𝑟 Octaedro 𝑙𝑂 𝑙𝑂 = R√2 𝑙𝑂 = 𝑟√6 Dodecaedro 𝑙𝐷 R(√15 − √3) 𝑟√250 − 110√5 𝑙𝐷 = 𝑙𝐷 = Icosaedro 𝑙𝐼 𝑅√50 − 10√5 𝑙𝐼 = 𝑟(3√3 − √15) 𝑙𝐼 = 3.2.4 Área de superfície Na definição adotada nesse trabalho os poliedros limitam uma região do espaço chamada de interior desse poliedro. Dessa forma, a superfície poliédrica com exemplos de planificação dos poliedros regulares é apresentada na Fig. 41. Figura 41. Superfície poliédrica dos poliedros regulares: tetraedro (a), hexaedro (b), octaedro (c), dodecaedro (d) e icosaedro (f). (a) (b) (c) (d) (e) Considerando que a aresta de cada poliedro tenha comprimento 𝑙, a área da superfície poliédrica pode ser determinada pelo produto da quantidade de faces pela área de cada uma das faces do poliedro regular. No caso do tetraedro regular, octaedro regular e icosaedro regular cujas faces √3 são delimitadas por triângulos equiláteros com área igual a 𝐴 = 𝑙 2 4 , a área de √𝟑 superfície do tetraedro regular é 𝑨𝑻𝒆𝒕𝒓𝒂𝒆𝒅𝒓𝒐 = 𝟒 (𝒍𝟐 𝟒 ) = 𝒍𝟐 √𝟑 , a área de superfície do √𝟑 octaedro regular é 𝑨𝑶𝒄𝒕𝒂𝒆𝒅𝒓𝒐 = 𝟖 (𝒍𝟐 𝟒 ) = 𝟐𝒍𝟐 √𝟑, e a área de superfície do icosaedro √𝟑 regular é 𝑨𝑰𝒄𝒐𝒔𝒂𝒆𝒅𝒓𝒐 = 𝟐𝟎 (𝒍𝟐 𝟒 ) = 𝟓𝒍𝟐 √𝟑. No hexaedro regular (cubo), as faces são delimitadas por quadrados com área igual a 𝑙 2 , o produto do número de faces pela área de cada face corresponde a área do hexaedro regular igual a 𝑨𝒉𝒆𝒙𝒂𝒆𝒅𝒓𝒐 = 𝟔𝒍𝟐 . No caso do dodecaedro regular, em que suas faces são delimitadas por pentágonos regulares, o cálculo da área superficial não é tão simples tendo em vista que o cálculo da área desse polígono exige algumas manipulações algébricas. Sabendo que todo o polígono regular de p lados pode ser inscrito em uma circunferência de raio R e que esses polígonos podem ser divididos em triângulos isósceles, o pentágono pode ser dividido em 5 triângulos isósceles conforme ilustrado na Fig. 42a. Para calcular a área de cada triângulo, basta determinar o valor do apótema do triângulo (segmento de reta com extremidades no centro da circunferência circunscrita ao polígono e em um lado do polígono regular, tal que esse segmento seja perpendicular a esse lado) e utilizar a fórmula conhecida para determinar a área do triângulo conhecendo um lado e a altura do triângulo relativa a esse lado, que nesse caso equivale à medida do apótema, ilustrado na Fig. 42b como o segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐷. Figura 42. Pentágono regular inscrito em uma circunferência (a) e apótema do pentágono regular (b). O ângulo central de 360° foi dividido por 5, então o ângulo CÂB equivale e 72º ̅̅̅̅) também é (Fig. 43a). Como o triângulo ABC é triângulo isósceles, o apótema (𝐴𝐷 bissetriz do ângulo CÂB, de modo que DÂB é igual a 36° e o triângulo ABD é retângulo (Fig. 38b). Sabendo que tg 36° = √5 − 2√5, para calcular o apótema 𝑎 podemos usar a (𝑙/2) tangente do ângulo DÂB e aplicar a relação trigonométrica tg DÂB = . 𝑎 Desenvolvendo e igualando ao valor da tangente de 36°, tem-se o valor do apótema 𝑙 𝑎 = 10 √25 + 10√5 . A área do triângulo será dada por 𝐴𝑇𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑙 𝑙 𝑙2 ( √25 + 10√5), portanto 𝐴𝑇𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 20 √25 + 10√5. Em seguida, para determinar a área do pentágono basta multiplicar a área do triângulo equilátero por 5 𝑙2 𝐴𝑃𝑒𝑛𝑡á𝑔𝑜𝑛𝑜 = 4 √25 + 10√5, e já que o dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais, para determinar a área superficial desse poliedro deve-se multiplicar a área do pentágono por 12. Por fim, 𝑨𝑫𝒐𝒅𝒆𝒄𝒂𝒆𝒅𝒓𝒐 = 𝟑𝒍𝟐 √𝟐𝟓 + 𝟏𝟎√𝟓. Figura 43 – Ângulo CÂB (a) e ângulo DÂB (b). As áreas das faces e áreas das superfícies de cada poliedro regular calculadas em função do comprimento da aresta, estão sintetizadas na Tab. 8. A Tab. 9 apresenta da área da superfície dos poliedros regulares após substituição nas expressões de área de superfície apresentadas na Tab. 8 do comprimento das arestas dos poliedros regulares (𝑙) pelo comprimento das arestas dos poliedros regulares em função do raio da esfera circunscrita (R) e do raio da esfera inscrita (r), conforme demonstrado anteriormente e sintetizado na Tab. 7. Tabela 8 – Área da superfície poliédrica em função do comprimento da aresta. Área da Poliedro Comprimento Área da Face superfície regular da aresta poliédrica √3 Tetraedro 𝑙 𝑙2 𝑙 2 √3 Hexaedro 𝑙 𝑙2 6𝑙 2 √3 Octaedro 𝑙 𝑙2 2𝑙 2 √3 𝑙2 Dodecaedro 𝑙 √25 + 10√5 3𝑙 2 √25 + 10√5 √3 Icosaedro 𝑙 𝑙2 5𝑙 2 √3 Tabela 9 – Área da superfície dos poliedros regulares em função do comprimento da aresta, do raio da esfera circunscrita e do raio da esfera inscrita. Área da Área da Área da Poliedro Comprimento superfície superfície superfície regular da aresta poliédrica em poliédrica em poliédrica em função de 𝑙 função de R função de r 8𝑅 2 √3 24𝑟 2 √3 Tetraedro 𝑙𝑇 𝑙 2𝑇 √3 Hexaedro 𝑙𝐻 6𝑙𝐻 8𝑅 2 24𝑟 2 Octaedro 𝑙𝑂 2𝑙𝑂2 √3 4𝑅 2 √3 12𝑟 2 √3 Dodecaedro 𝑙𝐷 3𝑙𝐷2 √25 + 10√5 2𝑅 2 √50 − 10√5 30𝑟 2 √130 − 58√5 Icosaedro 𝑙𝐼 5𝑙𝐼2 √3 2𝑅 2 (5√3 − √15) 30𝑟 2 √7√3 − 3√15 3.2.5 Volume Como dito anteriormente, nesse trabalho considera-se que os poliedros limitam uma região do espaço chamada de interior desse poliedro. Dessa forma, a superfície poliédrica e a região interna do poliedro constituem um objeto maciço ou sólido geométrico que no caso dos poliedros platônicos regulares podem ser chamados de sólidos platônicos regulares (Fig. 15), ou apenas sólidos regulares. Observando que o tetraedro regular é uma pirâmide de base triangular, seja 𝐴𝑏 área da base e h altura do tetraedro regular, como demonstrado anteriormente, o seu 𝐴𝑏 ×ℎ volume é dado por 𝑉𝑇𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = . √3 𝑙 √6 Como 𝐴𝑏 = 𝑙 2𝑇 4 e ℎ𝑇 = 𝑇3 , efetuando as substituições têm-se que o volume 𝒍𝟑 do tetraedro regular é 𝑽𝑻𝒆𝒕𝒓𝒂𝒆𝒅𝒓𝒐 = 𝟏𝟐𝑻 √𝟐. O volume do tetraedro regular também poderia ser determinado sabendo que esse poliedro pode ser decomposto em 4 pirâmides de base triangular com comprimento de aresta igual ao comprimento da aresta do tetraedro e altura igual ao raio da esfera inscrita, como ilustrado na Fig. 44a. Como o hexaedro regular é um prisma de base quadrada, seja 𝐴𝑏 área da base e h altura do hexaedro regular, o seu volume é dado por 𝑉𝐻𝑒𝑥𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = 𝐴𝑏 × ℎ. Como 𝐴𝑏 = 𝑙𝐻 e ℎ = 𝑙𝐻 , efetuando as substituições têm-se que o volume do hexaedro regular é 𝑽𝑯𝒆𝒙𝒂𝒆𝒅𝒓𝒐 = 𝒍𝟑𝑯 . O volume do hexaedro regular também poderia ser determinado sabendo que esse poliedro pode ser decomposto em 6 pirâmides de base quadrada com comprimento de aresta igual ao comprimento da aresta do hexaedro e altura igual ao raio da esfera inscrita, como ilustrado na Fig. 44b. O octaedro regular pode ser dividido em 2 pirâmides de base quadrada, então 𝐴 ×ℎ seu volume é dado por 𝑉𝑂𝑐𝑡𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = 2 × 𝑏3 , onde 𝐴𝑏 é a área da base e h é a altura dessas pirâmides. Como 𝐴𝑏 = 𝑙𝑂2 e ℎ é igual ao raio da esfera circunscrita, e sabendo √2 que ℎ = 𝑅 = 𝑙𝑂 2 como demonstrado anteriormente, efetuando as substituições têm𝒍𝟑 √𝟐 se que o volume do hexaedro regular é 𝑽𝑶𝒄𝒕𝒂𝒂𝒆𝒅𝒓𝒐 = 𝑶𝟑 . O volume do octaedro regular também poderia ser determinado sabendo que esse poliedro pode ser decomposto em 8 pirâmides de base triangular com comprimento de aresta igual ao comprimento da aresta do octaedro e altura igual ao raio da esfera inscrita, como ilustrado na Fig. 44c. Figura 44. Decomposição do tetraedro regular (a), hexaedro regular (b), octaedro regular (c), dodecaedro regular (d) e icosaedro regular (e). (d) (e) Analogamente, o dodecaedro regular pode ser dividido em 12 pirâmides de base pentagonal (Fig. 44d), então seu volume é dado por 𝑉𝐷𝑜𝑑𝑒𝑐𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = 𝐴 ×ℎ pentagonais. A altura de cada uma das pirâmides pentagonais (ℎ) é igual ao raio da esfera 𝑙𝐷 √𝟐𝟓𝟎+𝟏𝟏𝟎√𝟓 inscrita (𝑟) ao dodecaedro, como demonstrado anteriormente, 𝒉 = 𝒓 = . 𝟐𝟎 𝐴 ×ℎ 𝑙3 𝑙𝐷 √𝟐𝟓𝟎+𝟏𝟏𝟎√𝟓 Portanto, seja 𝑉𝐷𝑜𝑑𝑒𝑐𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = 12 × 𝑏3 , 𝐴𝑏 = 4𝐷 √25 + 10√5 e ℎ = , o 𝟐𝟎 𝒍𝟑 (𝟏𝟓+𝟕√𝟓) volume do dodecaedro regular é 𝑽𝑫𝒐𝒅𝒆𝒄𝒂𝒆𝒅𝒓𝒐 = 𝑫 . 𝟒 Por sua vez, o icosaedro regular pode ser dividido em 20 pirâmides de base triangular (Fig. 44e), seja 𝐴𝑏 área da base e h altura de cada uma das pirâmides, o 𝐴 ×ℎ seu volume é dado por 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = 20 × 𝑏3 . A altura de cada uma das pirâmides de base triangular (ℎ) é igual ao raio da 𝒍 (𝟑√𝟑+√𝟏𝟓) esfera inscrita ao icosaedro, como demonstrado anteriormente, 𝒉 = 𝒓 = 𝑰 . 𝟏𝟐 𝐴 ×ℎ √3 𝒍 (𝟑√𝟑+√𝟏𝟓) Por fim, seja 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = 20 × 𝑏 , Como 𝐴𝑏 = 𝑙𝐼2 e ℎ= 𝑰 , o volume do 𝟓𝒍𝟑𝑰 (𝟑+√𝟓) icosaedro regular é 𝑽𝑰𝒄𝒐𝒔𝒂𝒆𝒅𝒓𝒐 = . 𝟏𝟐 Assim como relacionou-se a área da superfície poliédrica em função do raio da esfera circunscrita e do raio da esfera inscrita, fazendo as devidas substituições obtêm-se o volume dos poliedros regulares em função do raio da esfera circunscrita (R) e em função do raio da esfera inscrita (r). A descrição das leis de formação para o cálculo do volume dos poliedros regulares é apresentada na Tab. 10. De forma genérica, como os poliedros regulares podem ser decompostos em pirâmides retas com base igual a face do poliedro regular e altura igual ao igual ao raio da esfera inscrita em cada um dos poliedros regulares, o volume desses poliedros corresponde a um terço do produto da área da superfície poliédrica pelo raio da esfera inscrita em cada poliedro regular. Tabela 10 – Volume dos poliedros regulares em função do comprimento da aresta, do raio da esfera circunscrita e do raio da esfera inscrita. Comprimento Volume em Volume em Volume em Poliedro da aresta função de l função de R função de r 𝑙 3𝑇 8𝑅 3 √3 8𝑟 3 √3 Tetraedro 𝑙𝑇 √2 Hexaedro 𝑙𝐻 𝑙𝐻 𝑙𝑂3 √2 4𝑅 3 4𝑟 3 √3 Octaedro 𝑙𝑂 𝑙𝐷3 (15 + 7√5) 2𝑅 3 (5√3 + √15) Dodecaedro 𝑙𝐷 10𝑟 3 √130 − 58√5 5𝑙𝐼3 (3 + √5) 2𝑅 3 (√10 + 2√5) Icosaedro 𝑙𝐼 10𝑟 3 √7√3 − 3√15 3.2.6 Área de superfície específica A relação entre área de superfície e volume é conhecida como área de superfície específica (ASE) e, de acordo com essa relação, quanto menor o volume maior a área de superfície específica. Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 = (Eq. 6) 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 No caso dos poliedros regulares para os quais demonstrou-se as leis de formação para determinação de área de superfície e volume em função do raio da esfera circunscrita (R) e raio da esfera inscrita (r), a relação entre área de superfície e 𝑅2 1 𝑟2 1 volume será do tipo 𝑅3 = 𝑅 ou 𝑟 3 = 𝑟 . Dessa forma, pode-se observar que quanto menor o raio das esferas, menor a área de superfície e o volume do poliedro regular inscrito ou circunscrito, de modo que quando o raio das esferas tende a zero a área de superfície específica tende a infinito. Geometricamente, quando o raio das esferas tende a zero pode-se dizer que o poliedro regular que é um elemento tridimensional se aproxima de um ponto. Com base nas expressões para área de superfície e volume apresentadas anteriormente nas Tabelas 9 e 10, determinou-se a área de superfície específica de cada um dos poliedros regulares em função do comprimento da aresta, em função do raio da esfera circunscrita (R) e em função do raio da esfera inscrita (r). A descrição das leis de formação é apresentada na Tab. 11. A Tab. 11 permite observar que a área de superfície específica dos poliedros regulares em função do raio da esfera circunscrita R é igual para os poliedros duais (hexaedro-octaedro e dodecaedro-icosaedro). Na Tab. 11 observa-se também que a área de superfície específica em função do raio da esfera inscrita (r) é igual para todos os poliedros regulares, confirmando o que foi dito anteriormente que volume dos poliedros regulares corresponde a um terço do produto da área da superfície poliédrica pelo raio da esfera inscrita em cada poliedro regular. Tabela 11 – Área de superfície específica dos poliedros regulares em função do comprimento da aresta, do raio da esfera circunscrita e do raio da esfera inscrita. Área de Área de Área de superfície superfície superfície Comprimento Poliedro específica específica em específica em da aresta em função função de R função de r de l 6√6 9 3 Tetraedro 𝑙𝑇 𝑙𝑇 𝑅 𝑟 Hexaedro 𝑙𝐻 𝑙𝐻 𝑅 𝑟 3√6 3√3 3 Octaedro 𝑙𝑂 𝑙𝑂 𝑅 𝑟 3√50 − 22√5 3√15 − 6√5 Dodecaedro 𝑙𝐷 𝑟 𝑙𝐷 𝑅 3(3√3 − √15) 3 Icosaedro 𝑙𝐼 3√15 − 6√5 𝑙𝐼 𝑟 𝑅 A Tab. 12 apresenta os valores numéricos para área da face, área de superfície, volume e área de superfície específica considerando o comprimento unitário das arestas de cada um dos poliedros regulares. Considerando o mesmo comprimento de aresta para cada um dos poliedros regulares, observa-se que o tetraedro apresenta menor área de superfície, menor volume e maior área de superfície específica e que o dodecaedro apresenta a maior área de superfície, maior volume e menor área de superfície específica. Tabela 12 – Área da face, área de superfície, volume e área de superfície específica dos poliedros regulares. AREA ÁREA DE POLIEDRO COMPRIMENTO QUANTIDADE ÁREA DE DA VOLUME SUPERFÍCIE REGULAR DA ARESTA DE FACES SUPERFÍCIE FACE ESPECÍFICA TETRAEDRO 1,00 0,43 4 1,73 0,12 14,70 HEXAEDRO 1,00 1,00 6 6,00 1,00 6,00 OCTAEDRO 1,00 0,43 8 3,46 0,47 7,35 DODECAEDRO 1,00 1,72 12 20,65 7,66 2,69 ICOSAEDRO 1,00 0,43 20 8,66 2,18 3,97 Assim como nos poliedros regulares, a forma e o tamanho de um objeto ou partícula definem a sua área de superfície e o seu volume influenciando a sua área de superfície específica. Além disso, Zarbin e Oliveira (2013) salientam que “Abaixo de um determinado tamanho crítico, sempre na ordem de alguns nanômetros, as propriedades de um determinado material se tornam diferenciadas daquelas observadas para o mesmo material em escala macroscópica”. Com isso, o estudo da área de superfície específica em escala nanométrica tem grande relevância para pesquisadores em diversas aplicações como catalisadores, fotocatalisadores, sensores, biosensores, células solares, etc., uma vez que nesses casos uma maior razão área superficial / volume contribui para a otimização de propriedades quando se comparado com razões maiores. (COELHO, 2020; PASTRANA-MARTINEZ ET AL., 2013; PEREIRA, 2012; ZARBIN E OLIVEIRA, 2013). Para exemplificar essa observação, escolhendo-se um poliedro cuja área e cujo volume são conhecidos, como um hexaedro regular cuja aresta tem comprimento 𝑙, a sua área de superfície é dada por 6𝑙 2 e o seu volume é dado por 𝑙 3 , o hexaedro regular com aresta de 1 m de comprimento (Fig. 45a), terá área de superfície de 6 m² e volume de 1 m³. A área de superfície específica desse hexaedro regular será 6 m²/m³. Ao dividir esse hexaedro em oito hexaedros regulares menores, cada um com aresta de 0,5 m (Fig. 45b), área de superfície de 1,5 m², volume de 0,125 m³, a área de superfície específica passará a ser 12 m²/m³ (1,5 / 0,125). Dividindo novamente cada um desses hexaedros regulares menores em oito (Fig. 45c), tem-se 64 hexaedros regulares cada um com aresta de 0,25 m, área de superfície de 0,375 m², volume de 0,015625 m³ e área de superfície específica de 24 m²/m³ (0,375 / 0,015625). Figura 45: Hexaedro regular com aresta de 1 m de comprimento (a), aresta de 0,5m de comprimento (b) e aresta de 0,25m de comprimento (c). No exemplo ilustrado acima, em escala macroscópica, pode-se observar também que, apesar do hexaedro inicial ter o mesmo volume que os 64 hexaedros menores juntos, a área de superfície do hexaedro inicial (6 m²) é inferior a área de superfície de cada um dos 64 hexaedros menores (24 m²). Contudo, essa propriedade é válida para objetos e partículas independentemente da sua forma geométrica e, inclusive, em proporções muito menores de tamanho como na escala nanométrica, o que possibilita grandes aplicações em diversas áreas do conhecimento. Além disso, assim como demonstrado nas seções anteriores, pode-se comparar a área de superfície, volume e área de superfície específica dos poliedros regulares com a área de superfície, volume e área de superfície específica de uma esfera de raio R circunscrita a esses poliedros. Desse modo, sabendo que a área da superfície da esfera de raio R é dada por 4𝜋𝑅 3 𝐴𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 4𝜋𝑅 2 e que o volume é dado por 𝑉𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = , utilizando as relações de área da superfície poliédrica e volume dos poliedros regulares em função do raio (R) da esfera circunscrita a esses poliedros, apresentadas na Tab. 9 e na Tab. 10, e considerando uma esfera de raio unitário, pode-se observar numericamente na Tab. circunscrita, tanto em termos de área de superfície quanto de volume e área de superfície específica. Tabela 13 – Área de superfície específica dos poliedros regulares e da esfera circunscrita. RAIO DA ÁREA ÁREA DE COMPRIMENTO QUANTIDADE ÁREA DE SÓLIDO ESFERA DA VOLUME SUPERFÍCIE DA ARESTA DE FACES SUPERFÍCIE CIRCUNSCRITA FACE ESPECÍFICA TETRAEDRO REGULAR 1,0000 1,6330 1,1547 4 4,6188 0,5132 9,0000 HEXAEDRO REGULAR 1,0000 1,1547 1,3333 6 8,0000 1,5396 5,1962 OCTAEDRO REGULAR 1,0000 1,4142 0,8660 8 6,9282 1,3333 5,1962 DODECAEDR O REGULAR 1,0000 0,7136 0,8762 12 10,5146 2,7852 3,7752 ICOSAEDRO REGULAR 1,0000 1,0515 0,4787 20 9,5745 2,5362 3,7752 ESFERA 1,0000 12,5664 4,1888 3,0000 Na Tab. 13 também é possível notar que a área de superfície específica do hexaedro é equivalente a área de superfície específica do octaedro, assim como a área de superfície específica do dodecaedro é equivalente a área de superfície específica do icosaedro. Observa-se também que a razão entre o volume do poliedro regular e seu dual é a mesma que a proporção da área de superfície do sólido e seu dual. Com base nos valores da Tab. 13, volume hexaedro / volume octaedro = 1,5396 / 1,3333 = 1,1547 e área de superfície do hexaedro / área de superfície do octaedro = 8 / 6,9282 = 1,1547, volume do dodecaedro / volume do icosaedro = 2,7852 / 2,5362 = 1,0981 e área de superfície do dodecaedro / área de superfície do icosaedro = 10,5146 / 9,5745 = 1,0981). Segundo Weisstein (n.d) essa propriedade foi observada pela primeira vez por Apolônio para o dodecaedro e o icosaedro. Por outro lado, também pode-se comparar a área de superfície, volume e área de superfície específica dos poliedros regulares com a área de superfície, volume e área de superfície específica de uma esfera de raio r inscrita nesses poliedros. Considerando que a esfera inscrita tem raio unitário, pode-se observar numericamente na Tab. 14 que a área de superfície específica de todos os poliedros regulares é igual a área de superfície específica da esfera de raio r inscrita em cada um desses poliedros que correspondente ao triplo do inverso do raio dessa esfera, como demonstrado anteriormente. Tabela 14 – Área de superfície específica dos poliedros regulares e da esfera inscrita. RAIO DA ÁREA ÁREA DE COMPRIMENTO QUANTIDADE ÁREA DE SÓLIDO ESFERA DA VOLUME SUPERFÍCIE DA ARESTA DE FACES SUPERFÍCIE INSCRITA FACE ESPECÍFICA TETRAEDRO 10,392 REGULAR 1,0000 4,8990 3 4 41,5692 13,8564 3,0000 HEXAEDRO REGULAR 1,0000 2,0000 4,0000 6 24,0000 8,0000 3,0000 OCTAEDRO REGULAR 1,0000 2,4495 2,5981 8 20,7846 6,9282 3,0000 DODECAEDR O REGULAR 1,0000 0,8981 1,3876 12 16,6509 5,5503 3,0000 ICOSAEDRO REGULAR 1,0000 1,3232 0,7581 20 15,1622 5,0541 3,0000 ESFERA 1,0000 12,5664 4,1888 3,0000 Considerando uma mesma esfera de raio r inscrita em cada um dos poliedros regulares, na Tab. 14 observa-se também que o tetraedro apresenta maior área de superfície, maior volume e que o icosaedro apresenta a menor área de superfície e menor volume. Por fim, destaca-se que dentre os poliedros regulares o dodecaedro apresenta maior aproximação entre área de superfície e volume da esfera circunscrita, assim como o icosaedro apresenta maior aproximação entre área de superfície e volume da esfera inscrita. Nesse capítulo serão apresentadas algumas aplicações dos poliedros regulares nas Ciências. Essas aplicações em algumas áreas do conhecimento, em diferentes escalas de comprimento desde o nível subatômico até nível macroscópico, justificam a importância de conhecer as propriedades matemáticas e geométricas dos poliedros regulares apresentadas na seção anterior e incentivam a utilização de uma proposta de ensino para estudantes do ensino médio envolvendo essa temática. 4.1 QUÍMICA, CIÊNCIA DOS MATERIAIS, NANOTECNOLOGIA A ciência que estuda a composição, estrutura, propriedades da matéria e as mudanças sofridas por ela é a Química e a Estereoquímica é um dos ramos da Química que estuda os aspectos tridimensionais das moléculas. Dessa forma, o estudo da geometria molecular aproxima essas duas ciências da Matemática. Desde a antiguidade filósofos e estudiosos estudam a composição da matéria, que pode ser definida como qualquer coisa que possui massa e ocupa lugar no espaço. Hoje, sabe-se que a matéria é constituída por átomos e pode se apresentar em três estados físicos: o estado sólido, o estado líquido e o estado gasoso. A estrutura atômica é formada por três partículas fundamentais: prótons, nêutrons e elétrons, como ilustrado na Fig. 46. Figura 46 – Esquema de estrutura atômica e suas partículas fundamentais. Os átomos pertencem a diferentes tipos de elementos químicos e podem se agregar formando moléculas que constituem substância elementar ou substância simples (átomos de um único tipo de elemento químico, Fig. 47a) ou compostos químicos (átomos de dois ou mais tipos de elementos químicos ou duas ou mais substâncias elementares, Fig. 47b). Figura 47 – Representação de substância simples como H2 (a) e substância composta como H2O. As propriedades físicas e químicas das substâncias químicas dependem da sua estrutura, ou seja, dependem da maneira como os átomos dos elementos que as constituem estão arranjados no espaço e dependem, também, do tipo de ligação que mantém estes átomos unidos. Como ilustrado na Fig. 48 e segundo Feitosa, Barbosa e Forte (2016, p. 71): Alguns compostos químicos são constituídos de íons, que são átomos que perderam ou ganharam elétrons, tornando-se eletricamente carregados, como o cloreto de sódio (NaCl), formado pelos íons Na+ e Cl-. Outros compostos químicos são constituídos por moléculas, que são as menores unidades de uma substância que mantém as características químicas e de composição do composto, como a água, que é constituída por moléculas de H2O (dois átomos de hidrogênio para cada átomo de oxigênio). As ilustrações apresentadas são exemplos de como a representação de estruturas químicas e o conhecimento das suas características geométricas pode facilitar a compreensão das propriedades físicas e químicas das substâncias químicas. Figura 48 – Representação da molécula de cloreto de sódio (NaCl) (a) e da molécula de água H2O (b). Atiyah e Sutcli (2003) discutiram e apresentaram exemplos de estudo de representação de elétrons em uma esfera, estrutura de átomos de carbono, a determinação de simetria e arranjos de mínima energia e problemas relativos à configuração de partículas pontuais, observando também o ponto de vista geométrico ao relacionar com poliedros, em especial os poliedros regulares. Alvarez (2005) afirmou que o tetraedro e octaedro são os modelos estruturais mais comuns na química do metal de transição molecular e são considerados como as unidades estruturais básicas da maioria dos sólidos inorgânicos. Alvarez e Echeverrı́a (2010) relataram que representar gráficos de dispersão das medidas de forma de famílias de compostos em relação a dois poliedros ideais, assim chamados os poliedros cujas arestas têm o mesmo comprimento ou suas faces são polígonos regulares, é útil para a análise estereoquímica. No entanto, os autores também destacaram que os poliedros regulares e semirregulares nos fornecem apenas um número limitado de formas ideais de modo que se deve ter em mãos outros conjuntos de poliedros menos regulares. Diante disso, Alvarez (2005) esclareceu e apresentou algumas operações geométricas com poliedros regulares para construir poliedros semirregulares que podem ser utilizados para ilustrar a representação de estruturas químicas, como ilustrado na Fig. 49 na Fig. 50. Figura 49 – Truncamento de um tetraedro. Figura 50 – Poliedros gerados a partir de um octaedro (a) e icosaedro (b). ́ (2010) esclarecem que Sobre a forma das moléculas, Alvarez e Echeverrıa duas moléculas têm a mesma forma se diferirem apenas em tamanho, posição ou orientação no espaço. Dito de outra forma, duas moléculas têm a mesma forma se elas podem ser sobrepostas por combinações de translações, rotações e escala isotrópica. Além disso, duas moléculas têm a mesma simetria se permanecerem indistinguíveis após a aplicação do mesmo conjunto de operações de simetria. Dessa forma, os autores concluem que duas moléculas com formas diferentes podem ter a mesma simetria, indicando que a forma é um critério mais rigoroso do que a simetria, conforme ilustrado pelos exemplos na Fig. 51. Figura 51 – Dois poliedros semirregulares com simetria octaédrica e 24 vértices: hexaedro truncado (a) e octaedro truncado (b). ́ (2010). Fonte: Alvarez e Echeverrıa Alvarez e Echeverrı́a (2010) ressaltam ainda que, existem, no entanto, alguns casos em que forma e simetria são equivalentes, e correspondem precisamente aos poliedros regulares, pois, por exemplo, todos os quatro poliedros de vértices com simetria tetraédrica têm a mesma forma, e o mesmo acontece para o octaedro, o cubo, o dodecaedro e o icosaedro. Na mesma perspectiva de utilizar a geometria como ferramenta útil para a representação de estruturas químicas na estereoquímica, Alvarez (2005) apresentou uma descrição sistemática de poliedros com vários graus de regularidade ilustrando com exemplos de estruturas químicas, principalmente de diferentes campos da Química Inorgânica como ilustrado na Fig. 52, na Fig. 53 e na Fig. 54. Além dos aspectos de tamanho e forma das substâncias químicas, é importante destacar que alguns elementos químicos como o Carbono, Oxigênio, Fósforo e Enxofre podem originar duas ou mais substâncias simples diferentes que são chamadas de alótropos. A diferença entre essas substâncias se deve à quantidade de átomos ou arranjo espacial dos átomos, como exemplo, pode-se citar que o oxigênio pode formar o gás oxigênio (O2) e o ozônio (O3). A Fig. 55 apresenta algumas estruturas alótropas do carbono conhecidas atualmente: grafite, diamante, fulereno, nanotubos e grafeno. Cabe ressaltar que os fulerenos foram descobertos em 1985 por Robert F. Curl Jr., Sir Harold Kroto e Richard E. Smalley (prêmios Nobel de Química em 1996), os nanotubos de carbono foram observados em 1991 por Sumio Iijima, e o grafeno, foi isolado e identificado em 2004 por André Geim e Konstantin Novoselov (prêmios Nobel de Física em 2010). Figura 52 – Poliedro Frank-Kasper de 16 vértices correspondendo ao Cu12Mg4 (a) e sua decomposição como um composto de um Cu12 tetraedro truncado e um Mg4 tetraedro (b). Figura 53 – Adamantano como um composto de um tetraedro e um octaedro: esqueleto carbonáceo (átomos de carbono terciários e secundários em vermelho e preto, respectivamente) (a), arranjo tetraédrico dos átomos de carbono terciários (b) e arranjo octaédrico dos átomos de carbono secundários (c). (a) (b) (b) Figura 54 – Estrutura de alguns fulerenos, da esquerda para a direita: Si20, Si24, Ge28, C60, C70, C80. (a) (b) (b) (d) (e) (f) Figura 55 – Estruturas alótropas do carbono: grafite (a), diamante (b), fulereno (c), nanotubo de carbono de parede simples (d), nanotubo de carbono de parede múltipla (e) e grafeno (f). (d) (e) (f) Fonte: Zarbin e Oliveira (2013). Das formas alotrópicas do carbono apresentadas na Fig. 55 a estrutura do fulereno chama atenção pois essa molécula possui a sua estrutura de acordo com Pereira (2012, p. 270) é “esférica e tridimensional, de forma fechada em si, em forma de ‘gaiolas’ ou ‘esferas ocas’ em uma rede altamente simétrica de hexágonos ligados por pentágonos, que dão a curvatura de esfera da molécula". Segundo SANTOS et al. (2010): Embora desde 1966 cálculos teóricos demonstrassem a possibilidade da existência de “gaiolas” estáveis formadas exclusivamente por átomos de carbono, somente em 1985 um experimento realizado por Kroto et al. comprovou experimentalmente a existência de tais compostos. Nesse experimento, uma placa de grafite foi submetida a um laser pulsado de alta frequência e os agregados gerados no plasma foram analisados por espectrometria de massas. Em virtude de suas características de simetria e estabilidade, essas moléculas foram chamadas inicialmente de buckminsterfulerenos e depois fulerenos em homenagem ao arquiteto americano Richard Buckminster Fuller (1895-1983). A molécula do fulereno também é conhecida como buckyball (SANTOS et al.,2010; PEREIRA, 2012). Medeiros (2004) apud Pereira (2012) destacou que os fulerenos possuem quantidades diferentes de átomos de carbono, podendo ser formados por 20, 60, 70, 100, 180, 240 e até 540 desses átomos. Contudo, Santos et al. (2010, p. 680) afirmou que “sob condições específicas para a formação destes agregados, o espectro de massas apresentou o pico do C60 como principal.” A geometria da molécula do fulereno C60 é formada por 60 átomos de carbono onde cada um desses átomos está ligado a três outros e têm a forma do icosaedro truncado de Arquimedes (Fig. 56a). Esse poliedro tem 12 faces pentagonais regulares, 20 faces hexagonais regulares, 60 vértices e 90 arestas, e é obtido pelo truncamento do icosaedro regular (Fig. 56b) que é um poliedro formado por 30 arestas, 12 vértices e 20 faces triangulares equiláteras. A Fig. 57a representa a molécula do fulereno C60 destacando os 60 átomos de carbono nos vértices do poliedro e a Fig. 57b representa a molécula do fulereno C60 destacando as 90 ligações químicas nas arestas do poliedro. Figura 56 – Icosaedro truncado de Arquimedes (a) e truncamento do icosaedro regular (b). Fonte: Nietto e Martins (2019). Figura 57 – Representação do fulereno C60, destacando os átomos (a) e as ligações interatômicas e estruturas tipo pentágono e hexágono (b). Fonte: Andrade (2016). Melo (2003) fez uma contextualização histórica e um comparativo dos aspectos geométricos da molécula do C60 e a bola de futebol, já que ambas têm a forma do icosaedro truncado de Arquimedes, constatando a validade do Teorema de Euler V - A + F = 2 para esse poliedro. A partir dessa relação o autor demonstrou que todo poliedro convexo que contenha somente faces hexagonais e pentagonais possui exatamente 12 faces pentagonais. Na demonstração apresentada por Rocha Filho (1996), seja P é o número de pentágonos e H o número de hexágonos, o número de faces numa molécula fulerênica é: 𝐹 =𝑃+ 𝐻 (Eq. 8) Observando que no caso dos fulerenos, como cada átomo está ligado a três outros, em cada vértice há o encontro de três arestas (cada uma ligada a dois vértices), assim: 𝑉 = ( )𝐴 (Eq. 9) Ao contar as arestas para todas as faces, sendo cada aresta compartilhada por duas faces, cada aresta é contada duas vezes; assim, numa molécula fulerênica: 𝐴 = (2) (5𝑃 + 6𝐻) (Eq. 10) Substituindo a Eq. 10 na Eq. 9 tem-se: 𝑉 = (3) 𝑃 + 2𝐻 (Eq. 11) Substituindo as equações 8, 10 e 11 na Relação de Euler 𝐹 + 𝑉 = 𝐴 + 2, temse que 𝑃 = 12. A menor molécula de fulereno, o C20, tem a forma do dodecaedro regular, poliedro com 20 vértices, 30 arestas, 12 faces pentagonais e nenhuma face hexagonal como ilustrado na Fig. 58. Os átomos da molécula são representados pelos vértices e as ligações químicas pelas arestas do dodecaedro. Figura 58 – Representação do fulereno C20. Fonte: Cavalcante (2015). Rocha Filho (1996) observou também que: No caso do C60, cada pentágono está rodeado por um colar de cinco hexágonos. Se o número desses colares ao redor de cada pentágono for aumentado para 2, 3 ou mais, obtém-se uma família de fulerenos gigantes que começa com C 240 e C540 (a família é dada por C60n2, onde n = 1, 2, 3 etc.). Essas moléculas, à medida que se tornam maiores, ficam menos esféricas. A importância de estudar a forma geométrica do fulereno permite evidenciar a relação Matemática-Química das estruturas e discutir a interpretação da geometria molecular e suas propriedades sob a ótica da Geometria/Topologia. Nesse sentido, Correa e Reis (2017) realizaram uma oficina para construção de representação da estrutura de fulerenos com uso de materiais manipuláveis com estudantes do curso de Licenciatura em Química da Universidade Federal do Triângulo Mineiro, como ilustrado na Fig. 59. Figura 59 – Representação da estrutura de fulerenos com materiais manipuláveis: C50(a), C60(b) e C70(c). Fonte: Correa e Reis (2017). Retomando o estudo das propriedades da matéria, segundo Calister (2002, p. 2): A Ciência dos Materiais investiga as relações entre as estruturas e as propriedades dos materiais. Com base nas correlações entre estrutura-propriedade, a Engenharia de Materiais consiste no projeto ou engenharia da estrutura de um material para produzir um conjunto predeterminado de propriedades. Entretanto, as propriedades da matéria dependem não só da sua composição e estrutura. Como visto anteriormente na seção sobre conceitos matemáticos, a forma e tamanho de um objeto ou partícula influenciam a sua área de superfície específica, que é a relação entre área de superfície e volume. Coelho (2020, p. 7) ressalta ainda que “na nanoescala os materiais tendem a apresentar propriedades muito especiais ao interagir com uma fonte de luz e, como possuem alta relação superfície/volume, a reatividade química é muito elevada”. Segundo Pastrana-Martinez et al. (2013, p. 21) nos materiais à escala nanométrica (1-100 nanómetros) “os efeitos quânticos tornam-se mais pronunciados, possuem novas propriedades e os elementos químicos exibem padrões distintos de reatividade”. Dessa forma, como a relação entre área de superfície e volume se acentua na escala nanométrica, a área de superfície específica é uma importante propriedade, pois quanto maior a área de superfície específica maior a eficiência de catalisadores, fotocatalisadores, sensores, biosensores, células solares, etc. Nesse aspecto, Santos et al. (2019) fizeram um estudo de revisão bibliográfica acerca de utilização de nanopartículas de óxido de ferro no tratamento de água e citaram aplicações ambientais da nanotecnologia no tratamento de água e remediação, sensoriamento, detecção e controle de poluição. Os autores destacaram que: A utilização de óxidos de ferro nanoestruturados vem sendo profundamente estudada devido às vantagens que este material apresenta frente a outros materiais em escala nanométrica. Seu baixo custo, facilidade na separação por meio da utilização de campos magnéticos externos (devido à propriedade ferromagnética), elevada área superficial, alta capacidade de adsorção de poluentes e eficiente ação como fotocatalisador nas reações de degradação de poluentes orgânicos e redução de poluentes metálicos, assim como na inativação de vírus em meios aquáticos, mostram o potencial do uso deste material para despoluição de água residuais (AMBASHTA; SILLANPAA, 2010; GOYAL; JOHAL; RATH, 2011; GUO et al., 2013; AHMED et al., 2014; MOHAMMED et al., 2017 apud SANTOS et al.,2019). Coelho (2020, p. 7) também destacou que “a última década testemunhou o desenvolvimento de uma variedade de tipos de nanoformulações para as mais diversas aplicações na agricultura e indústria de alimentos”. Além disso, Leopoldo e Del Vichio (2020) citaram que a nanotecnologia está sendo empregada em computação, na produção de roupas mais resistentes tais como coletes a prova de balas, farmácia, cosmética, medicina no tratamento de câncer e até na detecção do novo coronavírus (Sars-CoV-2). Os autores ainda citaram pesquisas com nanorrobôs que poderão navegar na corrente sanguínea humana para monitorar, detectar, com incrível precisão, qualquer anomalia, e enviar dados da saúde do usuário em tempo real a um computador, alertando os médicos responsáveis pelo paciente. Nesse contexto, Costa e Silva (2017) relataram que as características físicas e químicas das nanopartículas que incluem tamanho, carga, forma e propriedades de superfície individuais são importantes no transporte e distribuição de ativos para interagir com biomoléculas como enzimas, anticorpos e receptores, tanto na superfície como no interior da célula. Dessa forma, a superfície das nanopartículas pode ser modificada e revestida com moléculas bioativas para detecção seletiva e na terapia não invasiva do câncer. Diante do exposto, Gracia-Pinilla et al. (2008) destacaram a importância do desenvolvimento de novos nanomateriais para aplicações em medicina, catálise, eletrônica, óptica e plasmônica e estudaram modelos de geometria dos poliedros regulares para nanopartículas de prata que têm propriedades antibacterianas e antivirais. Os autores utilizaram resultados de simulações de dinâmica molecular para comparar o comportamento estrutural e energético dessas geometrias e utilizaram seis estruturas iniciais diferentes de tetraedro, icosaedro e cuboctaedro (Fig. 60) a fim de comparar a caracterização de forma e estrutura cristalina das nanopartículas de prata, por meio de microscopia de força atômica, e prever as condições termodinâmicas necessárias para a estabilidade dessas estruturas. Mckenna (2009) reforçou a importância de realizar uma pesquisa minuciosa das configurações atômicas possíveis para encontrar a mais estável com base no grande número de estudos de sistemas nanopartículas metálicas. Segundo o autor, pequenos aglomerados (com número de átomos menor que 20) podem adotar uma variedade de geometrias incomuns, incluindo configurações planas, anéis e tubos. Nanopartículas maiores podem adotar estruturas semelhantes ilustradas na Fig. 61. A identificação das estruturas que são mais termodinamicamente estáveis para uma dada temperatura e pressão é feita a partir do cálculo da energia livre de várias configurações de nanopartículas diferentes, observando o equilíbrio entre as nanopartículas e o ambiente para cada configuração. A análise topológica das nanopartículas também é realizada a fim de obter o número de átomos de cada configuração. Mckenna (2009) observou que a tendência geral é que ao aumentar o tamanho de nanopartículas, a morfologia preferida para nanopartículas de ouro no vácuo segue a seguinte ordem: decaédrica - icosaédrica - marks decaédrica - octaédrica truncada. O autor também destacou que em alta pressão, as moléculas de CO são adsorvidas em quase todos os átomos da superfície e isso faz com que morfologias das nanopartículas com área de superfície maior sejam preferencialmente estabilizadas. Figura 60 – Configurações iniciais usadas nas simulações de dinâmica molecular: um icosaedro (2869 átomos) (a), um cuboctaedro (2869 átomos) (b), um aglomerado esférico de 2899 átomos (c), um tetraedro perfeito de 2925 átomos (d), um tetraedro com ápice superior deslocado para um dos vértices da base com 2856 átomos (e), e um tetraedro com seu ápice superior deslocado para uma das faces laterais com 2925 átomos (f). (d) (e) (f) Fonte: Gracia-Pinilla et al. (2008). Bhatt e Kumar (2017) defendem que é muito útil entender o comportamento de fusão dos nanomateriais durante suas aplicações em alta temperatura. Sabe-se que a temperatura de fusão das nanopartículas metálicas, orgânicas e semicondutoras é menor em comparação com os mesmos materiais em escala macroscópica (materiais volumétricos). Mas, segundo os autores, muitos modelos tentaram explicar que a temperatura de fusão é dependente do tamanho com base no fato de que as nanopartículas são esferas ideais. Figura 61 – Morfologia de nanopartículas metálicas: octaédrica (a), octaédrica truncada (b), cuboctaédrica (c), icosaédrica (d), decaédrica (e), inodecaédrica (f) e marks decaédrica (g). (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Fonte: Mckenna (2009). Contudo, como o tamanho e a forma das nanopartículas influenciam diretamente seu volume e sua área de superfície, a diferença entre a área de superfície específica para nanopartículas de formas diferentes é muito grande. Diante disso, Bhatt e Kumar (2017) generalizaram as aplicações do modelo de energia de ligação para estudar o efeito do tamanho na temperatura de derretimento de nanosólidos independentes (Ag, Au, Al e Zn) e nanopartículas incorporadas (Pb e Ag) em formas diferentes: cilíndrica, icosaédrica regular, fio, esférica, hexaédrica regular, octaédrica regular e tetraédrica regular (Fig. 62). Esses materiais foram escolhidos para viabilizar a comparação com dados experimentais disponíveis em outras publicações. Os resultados de Bhatt e Kumar (2017) demonstram que a temperatura de fusão dos nanossólidos Ag, Au, Al e Zn diminui com a diminuição do tamanho e é mais alta para forma cilíndrica e é mais baixa para tetraédrico entre as diferentes formas consideradas no trabalho, e que diminuem continuamente na seguinte ordem decrescente: cilíndrica, icosaédrica, fio, esférica, octaédrica e por fim, tetraédrica. Figura 62 – Diferentes formas de nanomaterial: cilíndrica (a), icosaédrica (b), fio (c), esférica (d), hexaédrica (e), octaédrica (f) e tetraédrica (g). Fonte: Bhatt e Kumar (2017). Os autores verificaram também que o efeito de forma para superaquecimento de nanopartículas de Pb e Ag indica que a temperatura de fusão aumenta com a diminuição do tamanho das partículas, e é maior para a forma tetraédrica e mínima para forma cilíndrica e diminui na seguinte ordem decrescente: tetraédrica, octaédrica, esférica, fio, icosaédrica e então cilíndrica. Bhatt e Kumar (2017) observaram que ao diminuir o tamanho das nanopartículas o número total de átomos e átomos de superfície diminui, mas a área de superfície específica aumenta. Como a área de superfície específica também depende da forma, os autores observaram que ela é mínima para a forma icosaédrica e máxima para a forma tetraédrica. Estes dados estão de acordo com os resultados de área de superfície específica dos poliedros regulares demonstrados anteriormente na Seção 2.2.6. Além disso, verificou-se que a relação entre o número de átomos de superfície e o número total de átomos das nanopartículas é a mesma para as formas esférica e hexaédrica, e que resultados semelhantes foram obtidos para nanopartículas icosaédricas e em forma de fio. Com isso, Bhatt e Kumar (2017) concluíram que o comportamento de derretimento e superaquecimento dos nanomateriais é devido ao aumento da razão entre área de superfície por volume (área de superfície específica) com a redução no tamanho de partícula para formas diferentes, e dessa forma, é essencial levar em consideração o efeito de forma durante o desenvolvimento dos modelos teóricos. Nesse aspecto, Gonzalez et al. (2018) observaram que o desempenho catalítico de nanopartículas metálicas relativo à atividade e seletividade em relação à reação alvo, dependem das especificidades da sua superfície, em função da natureza de sua forma, além do tamanho e composição dessas nanopartículas. Os autores relatam a necessidade de refinamento dos métodos que permitem a síntese de nanopartículas observando essas características (composição, tamanho e forma) para desenvolver um catalisador e auxiliar na solução de desafios em química sustentável e desenvolvimento de energia. Diante disso, métodos experimentais e computacionais foram combinados por Gonzalez et al. (2018) para obter resultados eletroquímicos relatados sob diferentes concentrações de citrato e condições de pH para constatar que, em meios neutros, o citrato usado como agente de cobertura na água origina nanopartículas de platina (eletrocatalisador) de forma tetraédrica e octaédrica na água. Os autores esclareceram as características geométricas das nanopartículas, tendo em vista que as propriedades de adsorção são, em geral, bastante dependentes da especificação da superfície local, e que o átomo recém-depositado na superfície da nanopartícula se move até atingir uma posição onde a energia é minimizada. Por fim, ressalta-se que a compreensão desses fenômenos e a geração de produtos com o desenvolvimento da Nanociência e Nanotecnologia possibilita aplicações em potencial em todos os ramos da atividade humana: energia, agricultura, meio ambiente, bens de consumo, saúde e medicina, manufatura, construção civil, transporte, eletrônica, tecnologia da informação, cosméticos, têxteis, entretenimento, comunicação, lazer, etc. 4.2 MINERALOGIA, GEOTECNIA E TECNOLOGIA DO CONCRETO Exemplificando os estudos em Mineralogia, García-Monge et al. (2010) apresentaram uma prática básica para iniciar o reconhecimento visual de minerais observando propriedades físicas como cor, forma, brilho, densidade e dureza. A pirita possui forma semelhante a cubos ou hexaedros (Fig. 63a), a octaedro e a pentagonododecaedro. A galena tem como forma de apresentação mais comum o hexaedro com bordas chanfradas (arestas com corte oblíquo/diagonal) ou vértices truncados (Fig. 63b). A fluorita tem cristais bem formados em forma de cubo ou octaedro, como ilustrado na Fig. 63c. Figura 63 – Imagens de minerais pirita (a), galena (b) e fluorita (c). Fonte: García-Monge et al. (2010). Um dos objetivos da tese de Chaves (1997) foi a classificação de campo das principais características físicas do diamante da Serra do Espinhaço (Minas Gerais – Brasil). O autor destacou que, em termos gerais, na maioria das vezes o aspecto dos cristais de diamante é octaédrico ou dodecaédrico, algumas vezes cúbico e, em raríssimas situações lembrando a forma tetraédrica e que são comuns os cristais de faces encurvadas, como ilustrados nas Fig. 64 e Fig. 65. Figura 64 – Principais características físicas do diamante da Serra do Espinhaço. Fonte: Chaves (1997). Figura 65 – Imagem de cristal de diamante de hábito octaédrico (a) e cristal de diamante de hábito cúbico (b). Fonte: Chaves (1997). Pereira (2010) desenvolveu um trabalho experimental para caracterização de óxidos de ferro e de inclusões fluidas em estruturas de rochas. Segundo a autora “a estrutura básica de um óxido de ferro é de um octaedro, no qual cada átomo de ferro (2+ ou 3+) é rodeado por seis O2- ou por seis OH-. A polimerização destes octaedros em arranjos compactos, em que essas unidades podem interagir por meio de 3 seus ápices, arestas ou faces, forma a estrutura cristalina de todos os minerais deste grupo”. A Fig. 66 ilustra a representação do octaedro de ferro. Figura 66 – Representação do (a) octaedro de ferro, (b) polimerização pelo ápice, (c) aresta e (d) face. Fonte: Pereira (2010). Costa (2011) esclareceu que cada octaedro FeO6 compartilha suas arestas com outros três octaedros, no mesmo plano, e uma face é comum com um octaedro no plano adjacente. Essa estrutura ilustrada na Fig. 76 está de acordo com os modelos reportados na literatura. Figura 67 – Representação da célula unitária de Fe2O3, ressaltando o cluster de FeO6. Fonte: Costa (2011). Além disso, fragmentos minerais ou fragmentos rochosos contidos em depósitos sedimentares formam as partículas dos solos e a morfologia compreende o estudo da forma das partículas ou geometria geral de uma partícula. Segundo Martins (2020) a forma das partículas é uma característica inerente ao solo que desempenha um papel importante nas propriedades físicas e no comportamento mecânico dos solos. Por essa razão, a caracterização dessas partículas possibilita a melhor seleção de agregados utilizados nas obras de engenharia. Por outro lado, Riva (2010) destaca a grande irregularidade na forma das partículas do solo e que é comum utilizar a esfera como forma-padrão de comparação, pois ela possui a menor área de superfície se comparada a qualquer outro objeto tridimensional de mesmo volume. Entretanto, baseado nos estudos de mineralogia do solo, a forma de suas partículas tende a ser laminar quanto menor for o seu tamanho (DIXON & WEED, 1989; MELO et al., 2002 apud MULAZZANI E GUBIANI, 2016). A Fig. 68 ilustra a classificação da estrutura do solo segundo a forma dos agregados. Figura 68 – Estrutura do solo segundo a forma dos agregados: laminar (a), prismática (b), colunar (c), bloco angular (d) e granular (f). (a) (b) (c) (d) (e) (f) Fonte: Riva (2010). Além disso, para Nunes, Teixeira e Saraiva (2021) a caracterização da morfologia dos agregados relativo à textura superficial, esfericidade e angularidade é importante para analisar como essas características afetam as propriedades do concreto no estado fresco, como trabalhabilidade e fluidez, e no estado endurecido, como resistência à compressão ou módulo de elasticidade. De forma sucinta, a textura superficial ou rugosidade é uma propriedade que está relacionada com a superfície das partículas; a esfericidade ou arredondamento, por sua vez, compara a forma da partícula com uma esfera, relacionando o diâmetro da maior esfera inscrita nessa partícula com o diâmetro da menor esfera circunscrita à partícula, e, além disso, observando uma esfera com o mesmo volume de uma determinada partícula, pode-se comparar a área de superfície dessa esfera com a área de superfície da partícula; e a angularidade ou circularidade, dependendo da escala em que as características de superfície são observadas, está relacionada com as irregularidades e saliências das partículas como cantos e arestas. (MARTINS, 2020; RIVA, 2010). Na Fig. 69 é apresentada a escala de arredondamento de Powers (1953) que, segundo Riva (2010), mostra a diferenciação entre arredondamento ou esfericidade e angularidade, refletindo uma distinção geométrica entre a forma global da partícula e a rugosidade de sua superfície. Como a área de superfície específica das partículas do solo e agregados influenciam suas propriedades dos solos e argamassas, Mulazzani e Gubiani (2016) realizaram um trabalho para estimar a área superficial específica por meio da curva granulométrica. No modelo proposto e avaliado pelos autores observou-se que a área superficial específica (ASE) obtida experimentalmente foi maior que a área superficial específica estimada sendo necessário utilizar um fator de escala para obter estimativa mais precisa. Segundo os autores: Esse resultado indica que o pressuposto da esfericidade das partículas perde validade à medida que se considera partículas cada vez menores. A esfera é a forma geométrica com menor superfície em relação ao volume (ou massa para uma mesma densidade), por isso, se considerarmos uma mesma quantidade de massa, quanto menos esférica for a forma da partícula maior será sua superfície, portanto maior será a ASE. Isso explica porque a ASE obtida experimentalmente foi maior que a ASE estimada, mesmo que fosse estimada considerando partículas com diâmetro de 0,4 nm (MULAZZANI E GUBIANI, 2016, p. 3). Figura 69 – Escala de arredondamento (esfericidade) e angularidade. Bem Sub- Sub- Muito Arredondado Angular Arredondado Arredondado Angular Angular Esfericidade Baixa Esfericidade Alta Fonte: Adaptado de Riva (2010). Nesse contexto referente ao tamanho e forma das partículas, Ghasemi, Emborg e Cwirzen (2019) estudaram a relação entre a área superficial específica dos constituintes em argamassas e a consistência da argamassa e exploraram uma hipótese sobre a dependência da trabalhabilidade das argamassas com a densidade de empacotamento e a área superficial de seus constituintes. Os autores esclareceram que a trabalhabilidade das argamassas depende da distribuição granulométrica e forma das partículas constituintes que interfere na densidade de empacotamento e na demanda de água das argamassas já que um empacotamento mais denso leva a menos vazios entre as partículas que podem ser preenchidas. Além disso, destacaram também que a demanda de água está relacionada com a área superficial dos ingredientes da mistura pois argamassas com agregados que possuem maior área superficial específica e formato angular exigem mais água para mesma quantidade de cimento. Devido à complexidade para caracterizar a distribuição de tamanho das partículas, assume-se por simplificação matemática que as partículas têm forma esférica. Contudo, estudos citados pelos autores demonstraram erros da ordem de 20-30% na estimativa de área superficial específica do material triturado, justificando a proposição de nova metodologia que utiliza dodecaedros e hexaedros (cubos) como formas uniformes de modelo em vez de esferas para melhorar a estimativa de área superficial específica e distinguir entre agregados naturais e agregados triturados. Os autores ressaltaram que o cálculo da área superficial específica não levou em consideração os efeitos de forma, rugosidade e textura dos agregados que afeta o momento das partículas, suas características de rotação e possíveis intertravamentos. De forma semelhante, Ghasemi et al. (2020) comparou os valores de área superficial específica calculados para diferentes poliedros regulares cujo comprimento de aresta foi definido com relação ao raio de esferas intermediárias tomadas com base na distribuição granulométrica obtidas no método de peneiramento a seco. Para os autores, a importância de uma melhor estimativa da área de superfície específica (razão entre a área de superfície das partículas e seu volume) se deve a possibilidade de definir a forma quantitativamente e fornecer informações sobre a graduação e o módulo de finura do agregado amostrado. Dessa forma, explorou-se a possibilidade de substituir a suposição de uma forma esférica pela forma de poliedros regulares para melhorar a precisão da estimativa de área superficial específica das partículas de mistura de concreto e classificação de agregados com base em sua angularidade, forma representativa e demanda de água para dosagem de argamassas e concreto. 4.3 BIOLOGIA E BIOINFORMÁTICA Buscando relacionar a estrutura e a forma dos poliedros regulares com a forma similar de organismos vivos, Alvarez (2005) destacou a radiolária e um grão de pólen como ilustrado na Fig. 70. A geometria de diatomáceas e radiolária (Fig. 71) que são pequenos protozoários (0,1 - 0,2 milímetros) encontrados como o zooplâncton na forma solitária e em colônias, foi divulgada pelo biólogo alemão Ernst Haeckel (1834- 1919) em Formas de Arte na Natureza, em 1904. Figura 70 – Radiolária Aulonia hexagona e uma micrografia eletrônica de um grão de pólen de uma convulvullaceae com um diâmetro de cerca de 120nm. Os radiolários são protozoários que fazem parte do plâncton marinho presente em todos os oceanos e que apresentam esqueletos siliciosos externos com formas poliédricas e como os cocólitos, minúsculas plaquetas de carbonato de cálcio secretadas por certos protozoários ou algas no plâncton que formam colônias (coccolitóforos) com uma variedade de formas, entre as quais se pode encontrar Braarudosphaera bigelowii (Fig. 71c) com um formato de dodecaedro (ALVAREZ, 2005). Além disso, Hill e Rowlands (2008) apresentaram aplicações de estruturas matemáticas, tanto algébricas quanto geométricas (Fig. 72), assim como sistemas organizados em outras escalas, em particular, a física, na construção de códigos da natureza considerando a sua complexidade e tridimensionalidade para representação de conceitos biológicos como tradução, transcrição, replicação do código genético, DNA/RNA nos quais a estrutura dos aminoácidos que constituem as proteínas de acordo com suas propriedades químicas apresenta formato de poliedros regulares (tetraedro, hexaedro, icosaedro, dodecaedro e icosaedro). Figura 71 – Hexapodus inflatus – Octahedral (a), Ovulus coralli – Octahedral (b), Pseudoglobulus footballi – dodecaédrico (c), Braarudosphaera bigelowii - dodecaedro perfeito (d), Braarudosphaera pentagonica (e), Tentaculus gigantiucs - dodecaédrico (esferas em cantos) (f), Icosaédrica (stellated) (g), Metamorphosus lucidus – Icosaédricos (h), Tentaculus minimus - dodecaédrico (com esferas em cantos) (i), Curvata Astrosphera - Circogonia icosahedra - perfeito icosaedro (j), Dictyochophyceae – Silicoflagellates (k). (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) Fonte: Haeckel (1904). Figura 72 – O icosaedro e a geometria pentagonal do DNA: visão de cima para baixo (a), vista lateral 1 (b), vista lateral 2 (c), visão de cima para baixo sobreposto a um gráfico de dispersão de DNA (d), espiral de discos pentagonais sobrepostos (icosaedra incompleta),vista de cima para baixo (e), espiral de discos pentagonais sobrepostos (icosaedra incompleta),vista de cima para baixo, sobreposto ao gráfico de dispersão do DNA (com dodecaedros internos – faces numeradas identificam as posições do dNTP). Fonte: Hill e Rowlands (2008). Alvarez (2005) afirmou que se pode encontrar uma molécula de DNA de fita simples dobrada em um octaedro oco, bem como outros poliedros de DNA como o tetraedro, o cubo e o octaedro truncado, e que estruturas icosaédricas têm sido amplamente reproduzidas para os capsídeos dos vírus. Segundo Rivero (n.d) o capsídeo é uma estrutura que protege o genoma dos vírus e pode ter diferentes formas como icosaédrica, a exemplo do adenovírus, e helicoidal, como o vírus do mosaico do tabaco (Fig. 73). Figura 73 – Capsídeos icosaédricos centrados em um eixo duplo: forma esquemática de um capsídeo (a) e vírus dos satélites do mosaico do tabaco (b). Fonte: Rivero (n.d). Parvez (2020) informou que os vírus envelopados icosaédricos e helicoidais são muito comuns em animais e raros em plantas e bactérias. Esse autor também apresentou a diversidade estrutural e morfológica dos vírus com diferenças notáveis em suas formas, tamanhos, composições moleculares e organizações, como ilustrado na Fig. 74 e na Fig. 75. Figura 74 – Micrografia eletrônica de alguns vírus representativos de animais, plantas, fungos e bactérias. Rivero (n.d) destacou que a estrutura icosaédrica é a maior estrutura que pode acomodar 60 subunidades assimétricas feitas de proteínas e, além disso, maximiza a quantidade de volume por unidade de área. Entretanto, estudos citados pelo autor mostraram que a mesma simetria era compatível com capsídeos compostos por diferentes números de subunidades. Essas unidades proteícas fundamentais, chamadas capsômeros que compõem o capsídeo, podem ser constituídas por uma ou mais proteínas do mesmo tipo, ou mesmo por proteínas de diferentes tipos. Figura 75 – Representação de vírions mostrando seus tamanhos (20-400 nm) e formas (esféricas, poliédricas, elípticas, em forma de bastão, etc.). Parvez (2020) também observa que as subunidades da proteína do capsídeo são assimétricas e dessa forma, o número máximo de interações entre as subunidades pode ser estabelecido apenas quando elas são organizadas simetricamente. Além disso, Peeters e Taormina (2008) relatam que os capsômeros se agrupam em grupos de cinco (pentâmeros) em torno de doze revelações equidistantes correspondendo aos vértices de um icosaedro, e em grupos de seis (hexâmeros) em torno de pontos na interseção do capsídeo com eixos globais de simetria 3 vezes e/ou quando os capsômeros são circundados por seis capsômeros vizinhos, devido ao formato hexagonal são chamados hexâmetros. Analogamente, quando os capsômeros são circundados por cinco capsômeros vizinhos, devido ao formato pentagonal são chamados pentâmeros. Nesse sentido, Parvez (2020) apresentou as Figs. 76, 77 e 78 ilustrando a formação de capsídeo icosaédrico. Figura 76 – Formação de capsídeo icosaédrico com anéis de cinco subunidades (pentâmeros) ou seis subunidades (hexâmetros) nos vértices de cada uma das faces. Fonte: Adaptado de Parvez (2020). Figura 77 – Montagem de um capsídeo icosaédrico (T=1) de um vírus esférico. Fonte: Adaptado de Parvez (2020). Diante disso, Rivero (n.d) destaca que existem maneiras contadas de formar um capsídeo icosaédrico com base no modelo de Caspar e Klug proposto em 1962. Ao substituir 12 hexâmeros por 12 pentâmeros forma-se uma superfície fechada e a quantidade de formas que podemos usar para criar capsídeo icosaédrico está relacionada ao número de triangulação T. Figura 78 – Apresentação esquemática para formação de capsídeos icosaédricos T=1 (subunidade A), T=3 (subunidades A, B e C) e T=4 (subunidade A, B, C e D). O número de proteínas em um capsídeo ou o número total de capsômeros em um capsídeo depende do número de triangulação T. Segundo Rivero (n.d) cada uma das estruturas com um número de triangulação diferente pode ser encontrada em vários vírus, como o picornavírus, que tem número de triangulação T=3, ou herpevírus, com número de triangulação T=16, como ilustrado na Fig. 79. Figura 79 – Exemplos de capsídeos icosaédricos correspondentes a números diferentes T. Fonte: Rivero (n.d). Com relação à simetria, segundo Peeters e Taormina (2008) o modelo proposto por Caspar e Klug explora eixos coordenados bem escolhidos em uma rede hexagonal plana para rotular os vírus de acordo com o número de proteínas do capsídeo que exibem possibilitando a classificação de capsídeos icosaédricos dos vírus. Por outro lado, Parvez (2020) ressalta que um capsídeo estável deve estar em perfeita simetria e com a menor energia livre possível, pois a simetria geométrica do capsídeo contribui muito para sua estabilidade e equilíbrio entre a estrutura do genoma empacotado (ácido desoxirribonucléico/DNA ou ácido ribonucléico/RNA) e/ou o envelope lábil que deve derreter em um citoplasma em um local e tempo precisos. Com isso o autor mencionou em seu trabalho a simetria cúbica dos poliedros regulares e exemplificou capsídeos icosaédricos com número de triangulação diferente com princípio de eixos de simetria na Fig. 80. Figura 80 – Simetria cúbica dos poliedros regulares (a) e capsídeos icosaédricos com número de triangulação diferente com princípio de eixos de simetria (b). (a) (b) Fonte: Adaptado de Parvez (2020). Dessa forma, estudo da estrutura em nível atômico de vários vírus com imagem 3D detalhada obtida por meio de cristalografia de raios-X de alta resolução, microscopia crioeletrônica e simulações moleculares elucida as suas características morfológicas e possibilita o desenvolvimento de medicamentos antivirais (MISHRA, 2020; PARVEZ, 2020). Segundo Peeters e Taormina (2008) o conhecimento das propriedades dinâmicas dos capsídeos virais permite interferir mecânica e quimicamente em sua montagem ou, de forma mais geral, em seu ciclo de replicação. Para Parvez (2020) esse conhecimento estrutural detalhado possibilita a compreensão dos mecanismos de montagem/desmontagem do capsídeo, antigenicidade, interação como os receptores de células hospedeiras e desenvolvimento de estratégias terapêuticas. Parvez (2020) destacou que sobretudo na pandemia da doença SARS-CoV-2 (COVID-19) é necessária a compreensão estrutural de novos vírus emergentes em relação ao desenvolvimento de tratamento e intervenções eficazes. Nesse sentido, o autor relatou que uma estrutura cristalina recentemente determinada do nucleocapsídeo SARS-CoV-2 revelou sua arquitetura e automontagem muito semelhantes às do SARS-CoV-1 e do vírus da síndrome respiratória do Oriente Médio (MERS-CoV)”, como ilustrado na Fig. 81. Figura 81 – Vírus esféricos com capsídeos icosaédricos. PAV: Parvovírus; CMV: Citomegalovírus; NV: Norovírus; HBV: vírus da hepatite B; 29 1: bacteriófago; SARS-CoV-2: vírus-2 da síndrome respiratória aguda grave; BTV: vírus da língua azul; SV40: vírus Simian 40; HSV-1: vírus Herpes simplex; MLV: vírus da leucemia murina; HIV-1: Vírus da imunodeficiência humana-1; Influenza: vírus da influenza. Por fim, Mishra (2020) esclarece que é necessário um estudo matemático da estrutura dos vírus, pois a simetria é usada como uma ferramenta em virologia para entender e classificar os vírus, tendo em vista que os medicamentos antivirais são concebidos de forma a interferir ou bloquear a montagem viral, interferindo com a estrutura de simetria do vírus para torná-lo inativo. 4.4 ROBÓTICA E MOVIMENTO Segundo Carmichael e Gifford (2007) o robô tetwalker, (Fig. 82) foi projetado na NASA Goddard Flight Center (GSFC) para exploração espacial sendo capaz de manobrar suavemente em terreno rochoso e difícil com estabilidade já que seu apoio se dá em apenas três pontos. Figura 82 – Os engenheiros Caner Copperrider e Ken Lee trabalham no protótipo do robô tetwalker no Goddard Flight Center da NASA. Fonte: Wong (2005). O tetwalker é um tetraedro com suportes telescópicos e nós. Ele tomba pela paisagem, deformando-se, pois, o topo do tetraedro se move na direção desejada, enquanto a borda posterior se move na mesma direção (Fig. 83). Com isso, seu centro de gravidade muda e o robô “cai”. O processo se repete conforme o robô continua a girar em direção ao seu local final (WONG, 2005). Com base nos robôs andadores baseados em tetraedros, Ding e Yao (2013) propõem um método para a construção de um mecanismo móvel hexaedro implantável. Esse mecanismo pode ser considerado uma estrutura implantável que pode se expandir em seis direções independentemente devido à sua configuração completamente simétrica. A análise de estabilidade e simulação dinâmica do andar e rolar foram realizadas e um protótipo foi fabricado para verificar e validar resultados experimentais das funções de caminhar e tombar, ilustrado na Fig. 84. Figura 83 – Simulação de movimento do tetwalker. Fonte: Carmichael e Gifford (2007). Figura 84 – Etapas do movimento do mecanismo móvel na forma de hexaedro. Fonte: Ding e Yao (2013). 4.5 METEOROLOGIA E CARTOGRAFIA A modelagem de fenômenos atmosféricos globais é de grande importância científica, econômica, social e política. Na Meteorologia, assim como em diversas áreas do conhecimento, a esfera é utilizada como base para a estudos de previsão do tempo e de modelagem oceânica, por exemplo. Contudo, os poliedros regulares também podem servir de base para o desenvolvimento de malhas quase uniformes já que eles podem ser inscritos em uma esfera e suas faces podem ser projetadas na superfície de modo que as projeções das suas arestas para a esfera resultam em arestas geodésicas na esfera, como ilustrado na Fig. 85. Esse tipo de malha é denominado malha geodésica para a esfera (PEIXOTO, 2013). Peixoto (2013) destaca que por meio do processo de discretização é possível refinar uma malha base como ilustrado na Fig. 85 até a resolução desejada pelo processo de discretização. A discretização da esfera usando um hexaedro como referência (Fig. 85b) é feita repartindo cada quadrado esférico (projeções dos lados do hexaedro na esfera) uniformemente em novos quadrados esféricos para obter uma malha com espaçamento de grade adequado à representação da esfera como apresentado na Fig. 86. Figura 85 – Representações planas e esféricas poliedros regulares, da esquerda para a direita: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. (a) (b) (c) (d) (e) Fonte: Peixoto (2013). Figura 86 – Discretização da esfera usando um hexaedro. Fonte: Peixoto (2013). As malhas geodésicas obtidas por meio da projeção das arestas dos poliedros regulares na superfície da esfera circunscrita são uniformes e não apresentam concentração de pontos em torno dos polos como as malhas latitude-longitude. Diante disso, Silva (2014) destacou que, recentemente, diversos modelos atmosféricos estão sendo desenvolvidos utilizando essas malhas e Peixoto (2013) afirmou que “certamente a que vem ganhando mais espaço dentro dos grupos de estudos de modelagem meteorológica é a do tipo icosaédrica”. Nessa malha geodésica, os vértices do icosaedro regular inscrito em uma esfera são pontos da malha geodésica e são conectados por arcos geodésicos formando uma malha triangular composta por 20 triângulos geodésicos correspondentes às 20 faces do icosaedro regular projetadas na superfície esférica. A partir da conexão dos circuncentros dos 20 triângulos geodésicos dessa malha triangular, denominada malha primal, constrói-se a malha dual. (PEIXOTO, 2013; SILVA, 2014). A representação da malha primal com 12 pontos geradores e seu respectivo diagrama de Voronoi é ilustrada na Fig. 87a Figura 87 – Malha primal (em azul) e diagrama de Voronoi para malhas icosaédricas com icosaédricas com 42 geradores (em preto) (b). Fonte: Silva (2014). Como exemplificado anteriormente utilizando o hexaedro, essa malha pode ser sucessivamente refinada acrescentando-se novos pontos nos pontos médios das arestas geodésicas e os conectando até se obter o espaçamento entre pontos desejado. Inicialmente obtêm-se quatro triângulos no interior de cada um dos 20 triângulos do icosaedro como pode-se observar em vermelho na Fig. 87b. A Fig. 87b também apresenta um refinamento da malha triangular com 12 vértices, formando assim uma malha triangular com 42 vértices que são os geradores do diagrama de Voronoi, constituído de polígonos esféricos pentagonais ou hexagonais, associado a esta triangularização. Cada região de Voronoi é chamada de célula da malha. No processo de refinamento da malha geodésica icosaédrica até obter a resolução desejada, Silva (2014) destaca que o diagrama de Voronoi será composto por exatamente 12 pentágonos associados aos vértices do icosaedro e um número determinado de hexágonos. Segundo esse mesmo autor, para um nível q de resolução da malha, a quantidade de hexágonos depende da quantidade de triângulos da malha primal e é igual 22q triângulos no interior de cada um dos 20 triângulos do icosaedro. Segundo Walko e Avissar, 2008 apud Silva et al. (2009) um novo modelo denominado Modelo de Atmosfera Terra e Oceano (Ocean Land Atmosphere Model – OLAM) representa uma nova geração de modelos meteorológicos capaz de representar simultaneamente fenômenos meteorológicos de escala global, e com o acoplamento de grades refinadas consegue representar de forma mais acurada os fenômenos de escala local e estimar o clima regional, foi desenvolvido recentemente na Universidade Duke – EUA. Esse modelo utiliza uma grade do tipo não estruturada, em que as células possuem um formato triangular na direção horizontal, como uma malha geodésica icosaédrica (Fig. 88a). Silva et al. (2009) também explicam que nesse modelo o aumento da resolução espacial de alguma região de interesse pode ser obtido através da divisão das grades triangulares mantendo na mesma localidade as faces do triângulo original da grade de menor resolução como ilustrado na Fig. 88b. Os mesmos autores destacam ainda que aumentar a resolução espacial de forma ilimitada por meio do refinamento da malha, que pode ser feito simultaneamente em regiões distintas, facilita o entendimento de processos meteorológicos e climáticos de dessas regiões. A Fig. 88c ilustra a localização de uma grade mais refinada inserida no domínio global e as respectivas características de superfície. Figura 88 – Grade icosaédrica usada no modelo OLAM (a), refinamento das grades horizontais (b), modelo OLAM, cobertura vegetal e domínio das grades global e acoplada para a América do Sul (c). Fonte: Silva et al. (2009). As características geométricas dos poliedros regulares também possibilitam a sua utilização em cartografia. Nesse sentido, devido à dificuldade de representar o globo terrestre em uma superfície plana reduzindo as distorções de área, forma e ângulos existem vários tipos de projeções cartográficas. Um dos sistemas de projeção do Mapa Mundial divide a esfera em 20 triângulos esféricos equilaterais, que são então achatados para formar o icosaedro é conhecido como projeção de Buckminster Fuller ou projeção Dymaxion (Fig. 89). Figura 89 – Globo terrestre transformado em icosaedro regular (a) e projeção de Buckminster Fuller (b). Fonte: IBGE (2021). Este método compreende uma projeção realizada por intermédio da representação do mundo na superfície de um poliedro e resulta em um mapa com distorção menos visível do tamanho e área dos continentes. Entretanto, apesar das poucas distorções em sua representação da superfície terrestre, não é possível observar as distâncias entre os continentes, o que impossibilita a sua utilização nos sistemas de navegação. 4.6 ARQUITETURA E ENGENHARIA Nota-se facilmente a presença de poliedros como prismas e pirâmides no meio ambiente construído. Além disso, muitas obras arquitetônicas utilizaram como inspiração os poliedros regulares por sua geometria singular com regularidade e simetria que favorece a estabilidade das estruturas e beleza dessas obras, conforme exemplificado a seguir. A Plataforma de Observação em Bottrop-Batenbrock (Fig. 90), localizada na área industrial da cidade de Bottrop-Batenbrock na Alemanha, foi idealizada pelo arquiteto Wolfgang Christ em 1995, tem a forma de um tetraedro e possui 60 metros de altura. Figura 90 – Plataforma de Observação em Bottrop-Batenbrock. Fonte: Bortolossi (2009). A Atomium (Fig. 91), localizada em Bruxelas, na Bélgica, foi idealizada pelo engenheiro André Waterkeyn é um hexaedro regular (cubo) que representa um cristal elementar de ferro composto por nove átomos. Figura 91 – Atomium em vista inferior (a) e vista aérea (b). Fonte: Landgraf (2004). A pirâmide de entrada do Museu do Louvre (Fig. 92), em Paris, na França, foi projetada pelo arquiteto Leoh Ming Peit e inaugurada em 1989. Essa pirâmide de base quadrada juntamente com o seu reflexo forma um octaedro. Figura 92 – Pirâmide de entrada do Museu do Louvre. Fonte: Fotomat (n.d) O Bosque da Esperança (Fig. 93), localizado nas favelas de Soacha, próximo à cidade de Bogotá, na Colômbia, e projetado por Giancarlo Mazzanti é um espaço para a prática de diversos esportes e atividades recreativas pela comunidade carente da região. A sua cobertura é feita de dodecaedros, módulos com 12 superfícies de material translúcido. Figura 93 – Bosque da Esperança em vista inferior (a) e vista aérea (b). Fonte: Serafini (n.d). A Biosfera de Montreal (Fig. 94), localizada na cidade de mesmo nome no Canadá, foi projetada pelo arquiteto Buckminster Fuller para o pavilhão dos Estados Unidos na Feira Mundial de 1967, a Expo 67, em Montreal. Figura 94 – Biosfera de Montreal. Fonte: Langdon (2016). O arquiteto criou esse tipo de estrutura conhecida como domo geodésico ou cúpula geodésica a partir da divisão dos triângulos que compõem as faces de um icosaedro que é o poliedro que mais se aproxima da esfera. Diante do exposto, foram introduzidos os conceitos básicos de geometria plana e espacial a fim de desmistificar os elementos dos poliedros regulares como faces, arestas, vértices, diagonais, e esclarecer a diferença conceitual entre poliedros regulares e poliedros de Platão ou poliedros platônicos. A importância da História da Matemática referente à descoberta e estudo das características dos poliedros regulares também foi destacada, como por exemplo, na associação feita por Platão aos quatro elementos fundamentais da natureza e ao universo, na criação do Modelo de Kepler do sistema solar, na demonstração do Teorema de Euler e no nascimento da Topologia. Nesse trabalho também foram realizadas demonstrações para determinação das diagonais das faces, das diagonais dos poliedros, dos ângulos poliédricos, da existência de apenas cinco poliedros regulares (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro), assim como foram apresentadas as transformações sobre os cinco poliedros regulares para obtenção dos treze poliedros semirregulares também conhecidos como poliedros arquimedianos. Ademais, foi apresentado o princípio da dualidade entre os poliedros regulares e a construção dos poliedros regulares inscritos e circunscritos em uma esfera de modo a relacionar o comprimento das arestas de cada poliedro ao comprimento do raio da esfera inscrita e ao comprimento do raio da esfera circunscrita. Dessa forma, além de demonstrar o cálculo da área de cada uma das faces e área de superfície poliédrica com apresentação de exemplos de planificação dos poliedros regulares, também foi demonstrado o cálculo do volume e da área de superfície específica desses poliedros em função do comprimento de suas arestas, bem como em função do comprimento do raio da esfera inscrita e em função do raio da esfera circunscrita, de modo a possibilitar uma comparação numérica entre características dos poliedros regulares em relação à esfera inscrita e esfera circunscrita. Por fim, com o objetivo de reconhecer e relacionar os conceitos matemáticos dos poliedros regulares aplicados à modelagem de fenômenos em áreas da ciência, foram apresentadas algumas aplicações em Química, Física, Ciências dos Materiais, Nanotecnologia, Biologia, Engenharias, Meteorologia, Cartografia, Robótica e Arquitetura. Os trabalhos retornados mostraram que o tema de pesquisa abordado é atual e se mostra como potencial para o desenvolvimento de trabalhos futuros na área. Diante disso, destaca-se a importância do desenvolvimento de trabalhos com essa temática e a realização de atividades interdisciplinares com recursos variados para tornar a disciplina de Matemática mais atraente e mais contextualizada, tendo em vista que as aulas meramente expositivas e apresentação de fórmulas prontas dificultam a curiosidade dos estudantes e pouco contribuem para uma aprendizagem ativa e significativa. A escolha dos conteúdos que serão vivenciados e a metodologia que será utilizada pelo professor devem ser adequadas ao contexto educacional, destacando o papel do professor como mediador no processo de ensinoaprendizagem. Como perspectivas, espera-se que essa pesquisa possa auxiliar no desenvolvimento de propostas didáticas que utilizem a temática da interdisciplinaridade no ensino de geometria, bem como a utilização de geometria dinâmica e de materiais manipuláveis no ensino para a melhoria da percepção e visualização espacial com construção da aprendizagem por meio de formação de imagens mentais e associações que relacionem os conceitos do mundo real com os conteúdos abordados em sala de aula. Assim, conclui-se essa dissertação ressaltando a importância de se estudar os conceitos de Geometria Espacial, em especial os poliedros regulares, resgatando a História da Matemática, viabilizando a interdisciplinaridade com outras áreas do conhecimento e reconhecendo a aplicação da Matemática à realidade como normatiza os documentos regulatórios educacionais para o Ensino Médio.